2017_18学年高中数学第二章函数2.1.1第1课时变量与函数的概念学案

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1、2.1.1第1课时 变量与函数的概念[学习目标] 1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中,学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等,它们的表达形式分别为y=kx(k≠0),y=(k≠0),y=ax+b(a≠0),y=ax2+bx+c(a≠0).2.反比例函数y=(k≠0)在x=0时无意义.[预习导引]1.函数(1)函数的定义:设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对

2、应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域:所有函数值构成的集合{y

3、y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a,b∈R,且a<b.定义名称符号数轴表示{x

4、a≤x≤b}闭区间[a,b]{x

5、a<x<b}开区间(a,b){x

6、a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x

7、a<x≤b}半开半闭区间(a,b]3.无穷区间的表示定义{x

8、x≥a}{x

9、x>a}

10、{x

11、x<a}{x

12、x≤a}R符号[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a)(-∞,a](-∞,+∞)6要点一 函数概念的应用例1 设M={x

13、0≤x≤2},N={y

14、0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(  )A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析图号正误原因①×x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性.②√同时满足任意性与唯一性.③×x=0或2时,对应元素y=3∉N,不满足任意性.④×x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性.规律方法 1.判断一个对应关系是不

15、是函数关系的方法:(1)A,B必须都是非空数集;(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意:A中元素无剩余,B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪演练1 下列对应或关系式中是A到B的函数的是(  )A.A∈R,B∈R,x2+y2=1B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:C.A=R,B=R,f:x→y=D.A=Z,B=Z,f:x→y=答案 B解析 对于A项,x

16、2+y2=1可化为y=±,显然对任意x∈A,y6值不唯一,故不符合.对于B项,符合函数的定义.对于C项,2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.对于D项,-1∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.要点二 求函数的定义域例2 求下列函数的定义域:(1)y=-;(2)y=.解 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足即所以函数的定义域为{x

17、x≤1,且x≠-1}.(2)要使函数有意义,必须满足

18、x

19、-x≠0,即

20、x

21、≠x,∴x<0.∴函数的定义域为{x

22、x<0}.规律方法 1.当函数是由

23、解析式给出时,求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑下列各种情形:(1)负数不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或等于零;(2)分式中分母不能为0;(3)零次幂的底数不为0;(4)如果f(x)由几部分构成,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合;(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况.2.求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示.跟踪演练2 函数f(x)=+的定义域是(  )A.[2,3)

24、B.(3,+∞)C.[2,3)∪(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)答案 C解析 要使函数有意义,需满足即x≥2且x≠3.要点三 求函数值或值域例3 已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f[g(3)]的值.6解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==.又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.(2)∵g(3)=32+2=11,∴f[g(3)]=f(11)==.规律方法 求函数值时,首先要确定出函数的对应法则f的具体含义,然后将变量代

25、入解析式计算,对于f[g(x)]型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪演练3 求下列函数的值域.(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};(2)y=+1;(3)y=.解 (1)(直接法)将x=1,2,3,4,5分别代入y=2x+1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.(2)(观察法)∵函数的定义域为{x

26、x≥0},∴≥0,∴+1

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