2017_18学年高中数学第二章函数2.1.1第1课时变量与函数的概念学案

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1、2.1.1第1课时　变量与函数的概念[学习目标]　1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y＝kx(k≠0)，y＝(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0).2.反比例函数y＝(k≠0)在x＝0时无意义.[预习导引]1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对

2、应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y

3、y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a，b∈R，且a＜b.定义名称符号数轴表示{x

4、a≤x≤b}闭区间[a，b]{x

5、a＜x＜b}开区间(a，b){x

6、a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x

7、a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.无穷区间的表示定义{x

8、x≥a}{x

9、x＞a}

10、{x

11、x＜a}{x

12、x≤a}R符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a)(－∞，a](－∞，＋∞)6要点一　函数概念的应用例1　设M＝{x

13、0≤x≤2}，N＝{y

14、0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)A.0个B.1个C.2个D.3个答案　B解析图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②√同时满足任意性与唯一性.③×x＝0或2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性.④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.规律方法　1.判断一个对应关系是不

15、是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪演练1　下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C.A＝R，B＝R，f：x→y＝D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝答案　B解析　对于A项，x

16、2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y6值不唯一，故不符合.对于B项，符合函数的定义.对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.要点二　求函数的定义域例2　求下列函数的定义域：(1)y＝－；(2)y＝.解　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即所以函数的定义域为{x

17、x≤1，且x≠－1}.(2)要使函数有意义，必须满足

18、x

19、－x≠0，即

20、x

21、≠x，∴x＜0.∴函数的定义域为{x

22、x＜0}.规律方法　1.当函数是由

23、解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.跟踪演练2　函数f(x)＝＋的定义域是(　　)A.[2,3)

24、B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案　C解析　要使函数有意义，需满足即x≥2且x≠3.要点三　求函数值或值域例3　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.6解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.规律方法　求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f的具体含义，然后将变量代

25、入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪演练3　求下列函数的值域.(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝＋1；(3)y＝.解　(1)(直接法)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.(2)(观察法)∵函数的定义域为{x

26、x≥0}，∴≥0，∴＋1