2019_2020学年高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.3幂函数讲义苏教版必修1

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1、3.3幂函数学习目标核心素养2311.了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，x通过学习本节内容提升1学生的数学抽象和逻辑y＝x2的图象．(重点)推理的数学核心素养.2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)1．幂函数的概念α一般地，我们把形如y＝x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象和性质123－1y＝xy＝xy＝xy＝xy＝x2定义(－∞，0)∪RRR[0，＋∞)域(0，＋∞)(－∞，0)∪值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(0，＋∞)奇偶非奇非奇函数偶函数奇函

2、数奇函数性偶函数在(－∞，0]在(－∞，0)上单在(－∞，＋在(－∞，＋在[0，＋∞)单调上单调递减，调递减，在(0，∞)上单调递∞)上单调递上单调递性在[0，＋∞)＋∞)上单调递增增增上单调递增减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象不经过第四象限．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()xα(3)指数函数y＝a的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝x的定义域为R，与指数也无关．()[答案](1)√(2)×(3)×α[

3、提示](1)由幂函数的一般式y＝x(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．－1(2)y＝x不经过(0,0)点，故错误．1(3)y＝x2，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．α2．若y＝mx＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.m＝1，m＝1，3[由题意得所以m＋n＝3.]2n－4＝0，n＝2，α3．已知幂函数f(x)＝x的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.α－8[8＝2，所以α＝3，33所以f(x)＝x，f(－2)＝(－2)＝－8.]幂函数的概念122【例1】已知y＝(m＋2m－2)xm－1＋2n－3

4、是幂函数，求m，n的值．思路点拨：由幂函数的定义列式求解．2m＝－3，m＋2m－2＝1，[解]由题意得2解得3m－1≠0，n＝，22n－3＝0，3∴m＝－3，n＝为所求．2α1．幂函数y＝x要满足三个特征α(1)幂x前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项．α2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝x，根据条件求出α.1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)2212x22①y＝x；②y＝2x；③y＝x；④y＝x＋1；⑤y＝－；⑥y＝x3.x③⑥[根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]22，α2．已知幂函数f(

5、x)＝x的图象经过2，则f(100)＝________.11α2－1[由题知2＝＝22，∴α＝－.10221－∴f(x)＝x2，1－11∴f(100)＝1002＝＝.]10010比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小：11112－13－1－－(1)32与42；(2)3与5；11－0.60.4(3)0.254与6.254；(4)0.2与0.3.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．111[解](1)∵y＝x2是[0，＋∞)上的增函数，且>，341111∴32>42.－1(2)∵y＝x是(－∞，0)上的减函数，23且－<－，3523－1－1－－∴3>5

6、.1111－－(3)0.254＝44＝22，116.254＝2.52.1∵y＝x2是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5，1111－∴22<2.52，即0.254<6.254.0.60.6x0.40.6(4)由幂函数的单调性，知0.2<0.3，又y＝0.3是减函数，∴0.3>0.3，从而0.60.40.2<0.3.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．3．比较下列各组中两个数的大小：55－－(1)32

7、，3.12；1.51.5(2)a，(a＋1)(a＞0)；55(3)(－0.88)3，(－0.89)3.555－－－[解](1)因为函数y＝x2在(0，＋∞)内是减函数，所以32＞3.12.1.5(2)函数y＝x在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，1.51.5所以(a＋1)＞a.5(3)函数y＝x3在R上为增函数，55所以(－0.88)3＞(－0.89)3.幂函数的图象与性质[探究问题]21．做幂函数y＝x3的图象应该怎么做？22[提示]①因为0<<1，故函数y＝x3在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在3y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y