2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量学案北师大版

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1、§1　从平面向量到空间向量学习目标：1.了解空间向量的有关概念．(重点)　.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)　会求简单空间向量的夹角．(难点)1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量．(2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法(4)自由向量：与向量的起点无关的向量．思考：在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？[提示]　球面．2．空间向量的夹角(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角

2、，记作〈a，b〉．(2)图形表示：角度表示〈a，b〉＝0〈a，b〉是锐角〈a，b〉是直角〈a，b〉是钝角〈a，b〉＝π(3)范围：0≤〈a，b〉≤π．(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.3．向量与直线、平面(1)向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向．如图所示．l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线．(2)向量与平面如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．思

3、考：在正方体ABCDA1B1C1D1中，每一条棱所在直线的方向向量及每一个表面的法向量只有一个吗？[提示]　不是，每一条棱所在的直线的方向向量有多个，例如直线AB的方向向量可以是，，，，等，每一个表面的法向量也有多个．例如平面ABB1A1的法向量可以是，，，等．1.判断正误(1)直线l的方向向量是唯一的．(　　)(2)0向量是长度为0，没有方向的向量．(　　)(3)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　　)(4)不相等的两个空间向量的模必不相等．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②空间向

4、量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是(　　)A．①②　　　　　B．②③C．①③D．①③④C　[①正确，零向量的方向是任意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．]3.平面的法向量与平面中任意一个向量的夹角是________．90°　[平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夹角为90°.]4.如图所示，a、b是两个空间向量，则

5、与是________向量，与是________向量．[答案]　相等　相反空间向量的有关概念【例1】　(1)给出下列命题：①若空间向量a、b满足

6、a

7、＝

8、b

9、，则a＝b；②若空间向量m、n、p满足m＝n、n＝p，则m＝p；③空间中任意两个单位向量必相等，其中正确的个数为(　　)A．0B．3C．2D．1(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量；③试写出与向量相等的所有向量；④试写出向量的所有相反向量．D　[(1)①中向量a与b的

10、方向不一定相同，故①错；命题②显然正确；对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故③错．故选D.](2)①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，，.④向量的相反向量有，，，.在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相

11、反向量的充要条件是大小相等，方向相反．1．(1)下列说法中，正确的是(　　)A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量和是共线向量，则A，B，C，D四点共线C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．零向量与任意向量平行(2)在如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量有________个(不含)．(1)D　(2)3　[(1)A项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同．B项错，若和共线，则和的基线平行或重合，所以A，B，C，D不一定在同一条直线上．C项错，若b0，a∥0，0∥c，则a与c不一定平行，D项

12、正确．(2)与向量相等的向量为：，，共有3个．]直线的方向向量与平面的法向量【例2】　已知正四面体A－BCD