2020届高考数学课时跟踪练（七十八）坐标系理（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪练(七十八)A组　基础巩固1．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2与C2：ρcos＝交于两点A，B.(1)求两交点的极坐标；(2)求线段AB的垂直平分线l的极坐标方程．解：(1)C1：ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，C2：ρcos＝的方程即ρcosθ＋ρsinθ＝2，化为直角坐标方程得x＋y－2＝0.由解得或所以两交点为(0，2)，(2，0)，化为极坐标为，(2，0)．(2)易知直线l经过点(0，0)及线段AB的中点(1，1)，所以其方程为y＝x，化为极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．2．(2

2、018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝.如图，连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.3．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正

3、半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若

4、OP

5、＝3

6、OQ

7、，求直线l的极坐标方程．解：(1)因为ρ＝，ρsinθ＝y，所以ρ＝化为ρ－ρsinθ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，根据题意＝3·，解得θ0＝或θ0＝，所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．4．(2019·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴

8、的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝，C1与C2相交于A，B两点．(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；(2)若P为C1上的动点，求

9、PA

10、2＋

11、PB

12、2的取值范围．解：(1)由题意知，曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0.联立得或即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1)．(2)设P(－1＋2cosα，1＋2sinα)

13、，不妨设A(－1，－1)，B(1，1)，则

14、PA

15、2＋

16、PB

17、2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8sin，所以

18、PA

19、2＋

20、PB

21、2的取值范围为[16－8，16＋8]．5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程

22、为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a

23、＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.B组　素养提升6．(2019·衡水中学检测)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求出圆C的直角坐标方程；(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．解：(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，即x2＋y2－4x＝0，即圆

24、C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)直线l：y＝2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y＝2x＋2m，而AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故≤2，解得－2－≤m≤－2，所以实数m的最大值为－2.7．(2019·长郡中学调研)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l过点(－1，0)，且斜率为，射线OM的极坐