抛物线的定值问题

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1、抛物线的定值问题◎李远敬（辽宁省本溪市机电工程学校117022）【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到圆锥曲线的一些定值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了抛物线十个定值问题，供师生们参考。【关键词】抛物线；定值；焦点。1.过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，则（1）（定值），（2）（定值），（3）（定值）。（请读者自证）2.已知AB是过抛物线焦点F的动弦。求证：（定值）。证明：设A()、B()，直线AB的方程为。当不存在时，。当存在时，由得则=====3过抛物线焦点F的两条相

2、互垂直的弦AB和CD,则=（定值）。证明：设A()、B()、C()、D)，由上题得（1）ABCD由（1）可得=（2）====同理=2.==。4.设MN是过抛物线焦点F的动弦。由M、N分别向抛物线的准线作垂线MA、NB,其中A、B是垂足。求证：AFB=(定值)。证明：设,N(),则A),B,F.,==0.FAFBAFB=。5.过点P作直线交抛物线于、两点，交轴于点，若,＝,求证：﹢﹦﹣1（定值）证明见第6题，令。6.过点P作直线交抛物线于、两点，交直线于点，若,＝,求证：﹢﹦-1-（定值）.证明：设

3、A()，B()，M()，则由，即（）=，得=-1，同理得。所以=-2（*）抛物线方程与直线的方程联立,列方程组得则（3）因M()在（2）上，所以，得（4）将（3）（4）代人（*）中，得=-1-.7．设F是抛物线的焦点，A、B、C是抛物线上的三点，﹢﹢﹦0。则∣∣﹢∣∣﹢∣∣﹦3（定值）.证明：设、、是A、B、C三点的横坐标。因为﹢﹢﹦0所以抛物线焦点F是△ABC的重心。故（1）∣∣=，∣∣=，∣∣（2）由（1）（2）得∣∣﹢∣∣﹢∣∣﹦3。8.过抛物线上一定点P()(0)分别作斜率为-和的直线、，

4、设、与抛物线交与A、B两点，则直线AB的斜率为-（定值）。证明：设A()、B()，由得则（1）。同理，得（2）由（1）（2）得则===-。9.设P()(0)是抛物线的一定点，斜率为-的直线与抛物线交与A、B两点，则直线PA、PB斜率之和为0（定值）。证明：设A()、B()由得则。====0.10.已知抛物线上的两个定点P(),Q,),过P、Q作倾角互补的两条直线PA,QB,分别与抛物线交与异于P、Q的点A和B,则直线AB的斜率为（定值）。证明：设A(),B()因P、Q、A、B都在抛物线上，所以==

5、，同理，，。因为，所以故。【参考文献】[1]刘铭。平面解析几何的定值问题，辽宁招生考试，2009（2）[2]彭世金。对圆锥曲线的一类定值问题的再思考，数学教学通讯，2006（9）