抛物线中的三个定值定点问题.pdf

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1、咸丰中学数学学习互助QQ群（群号：540871312）抛物线中的三个定值定点问题咸丰一中杨金煜结论一：如图，互相垂直的射线OA，OB分别交抛物线y2=2px(p>0)于A、B两点，则直线AB恒过定点（2p,0）.【此结论换一种说法：如图，A，B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点且OAOB0，则直线AB恒过定点（2p,0）】证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为：x=my+a(a0),2yy联立xmya得:y2-2mpy-2pa=0所以，y122y22px1y2=-2pa,x1x2==a4p2因为OAOB

2、,所以OAOBx21x2+y1y2=a-2pa=0，所以a=2p，即直线AB恒过定点（2p,0）.1（本结论另一种证明方法：设直线OA的斜率为k，所以直线OB的斜率为，求出点A,Bk的坐标，写出直线AB的方程，从而得出结论，当直线AB的斜率不存在的时候另行讨论）备注：此结论可以推广为：（1）如图，A，B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点且OAOB（为常数且-p2），则直线AB恒过定点（pp2,0）（注意验证直线AB与抛物线有两个交点；（2）如图，A，B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点且kk（为常数），则直OAOB2p线AB

3、恒过定点（,0））.结论二：如图,过点M（m,0）(m>0)的两条直线AC、BD分别与抛物线y2=2px(p>0)交于A、C与B、D，直线AB过抛物线的焦点F，若直线λpAB,CD的斜率满足kAB=λkCD（λ为定值且λ0）则实数m为定值.2【此结论换一种说法：如图，斜率为k的直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F交抛物线于A、B两点，斜率为λk（λ为定值且λ0）的直λp线CD交抛物线于C、D两点，则直线AC、BD交于定点M（，0）】2xtym2证明：设直线AC的方程为：x=ty+m,联立y22px得:y-2tpy-2pm=0所以yAyC=-2pm,yC=

4、2pm,可得点C（2pm2，2pm）yy2yAAA2pmy2y2同理可得：点D（2pm2，）又点A(A),B(B),y2,y,yAyB=-py2y2pA2pBBB2pm2pmyyyy2pλyyλλpBABABAkλkλ2pp2mABCDy2y22pm22pm2yymyym2BABABA2p2py2y2BA备注：此结论可以推广为：斜率为k的直线AB过定点Q（a,0）（其中a为正常数）交抛物线于A、B两点，斜率为λk（λ为定值且λ0）的直线CD交抛物线于C、D两点，则直线AC、BD交于定点M（λa，0）.结论三：如图，点A（x2

5、0,y0）是抛物线y=2px(p>0)上异于顶点定点，直线AB,AC的斜率互为相反数，分别交抛物线于B,C点，则直线BCp的斜率恒为定值.y0y20证明：由题意，A（,y0），设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜2p率为-k.yy200yykx2所以直线AB的方程为：y-y0=k(x-),联立02p得：ky-2py-2py0-y0=02py22px22p2p2pky2pky00所以y0+yB=,从而yB=-y0=，xB=kkk2pk222p2pky2pky00同理可得：yC=-y0=，xC=kk2pk22pky2pky0

6、0yyBCkkp所以KBC为定值.22xxyBC2pky2pky0002pk22pk2练习：21、已知抛物线y=3x上两个不同的点A、B（不在原点），满足OAOB，若总存在点M，使1得OMOAOBR，则M点的坐标为.2222、已知F是抛物线yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是.23、过点（m，0）作直线l1，l2与抛物线E：y=4x相交，其中l1与E交于A、B两点，l2与E交于C、D两点，AD过E的焦

7、点F，若AD,BC的斜率k1，k2满足k1=2k2，则实数m的值为.简解：111、设OH=2OMOA1OB，A、B、H共线，H（0，），从而M0，362、不妨设A在x轴上方，显然直线AB过点（-1，0）（舍去）或（2,0），yy2，AB11199SS=2yyyyy2yy3(“”也成立)ABOAFO2AB24A8AB8AB3、由结论二知：m=2.