高中数学第2章数列2.1数列的概念与简单表示法（第2课时）数列的通项与递推公式学案新人教A版

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1、第2课时　数列的通项与递推公式学习目标核心素养1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会求数列中的最大(小)项(易错点)．1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养.2.借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：所有数列都有递推公式吗？[提示]　不一定．例如精确到1，0.1

2、，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)A．1，2

3、，3，4，…　B．1,，2，2，…C．，2,，2，…D．0,，2，2，…[答案]　B2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　)A．－3　　B．－11C．－5　　D．19D　[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]3．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________．　[a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.]4．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2018－a2017＝________．2017

4、　[由an＋1－an＝n，得a2018－a2017＝2017.]由递推关系写出数列的项【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝

5、5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．[解]　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5

6、＝＝＝.故该数列的前5项为1，，，，.数列的最大(小)项的求法【例2】　已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．思路探究：①an＋1－an等于多少？②n为何值时，an＋1－an>0？an＋1－an<0?[解]　法一：(单调性法)∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·，当n<9时，an＋1－an>0，即an9时，an＋1－an<0，即an>an＋1；故a1a11>a12>…，所以数列中有最大项，

7、最大项为第9、10项，且a9＝a10＝.法二：(最大项法)设ak是数列{an}的最大项．则即整理得得9≤k≤10，∴k＝9或10，即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可．2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[解]　(1)由n2