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时间:2020-05-26
《2020_2021学年高中数学第2章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项与递推公式学案新人教A版必修5.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 数列的通项与递推公式学习目标核心素养1.理解递推公式的含义.(重点)2.掌握递推公式的应用.(难点)3.会求数列中的最大(小)项.(易错点)1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项,培养学生的逻辑推理素养.2.借助数列最大(小)项的求法,培养学生的逻辑推理及数学运算素养.1.数列递推公式(1)两个条件:①已知数列的第1项(或前几项);②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论:具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.思考:已知an+1=2an,a1=2,a5的值是什么?[提示] a5=32.2.
2、数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法;(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考:仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列吗?[提示] 不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.1.符合递推关系式an=an-1的数列是( )A.1,2,3,4,… B.1,,2,2,…C.,2,,2,…D.0,,2,2,…[答案] B2.数列{an}中,an+1=a
3、n+2-an,a1=2,a2=5,则a5=( )A.-3 B.-11C.-5 D.19D [a3=a2+a1=5+2=7,-10-a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19,故选D.]3.已知a1=1,an=1+(n≥2),则a5=. [a2=1+=1+1=2,a3=1+=1+=,a4=1+=1+=,a5=1+=1+=.]4.数列{an}中,若an+1-an-n=0,则a2018-a2017=.2017 [由an+1-an=n,得a2018-a2017=2017.]由递推关系写出数列的项【例1】 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由a
4、n=an-1+an-2(n≥3)给出.(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.[解] (1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.(2)∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,∴b1==,b2==,b3==,b4==.故{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=.由递推公式写出数列的项的方法-10-(1)根据递
5、推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项.[解] ∵a1=1,an+1=,∴a2==,a3===,a4===,a5===.故该数列的前5项为1,,,,.数列的最大(小)项的求法【例2】 已知数列{an}的通项公式为an=(n+1),试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项;
6、若没有,说明理由.思路探究:①an+1-an等于多少?②n为何值时,an+1-an>0?an+1-an<0?[解] 法一:(单调性法)∵an+1-an=(n+2)-(n+1)·=-10-·,当n<9时,an+1-an>0,即an9时,an+1-an<0,即an>an+1;故a1a11>a12>…,所以数列中有最大项,最大项为第9、10项,且a9=a10=.法二:(最大项法)设ak是数列{an}的最大项.则即整理得得9≤k≤10,∴k=9或10,即数列{an}中的最大项为a9=a10
7、=.求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项;如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性,以此求解最大项.二是设ak是最大项,则有对任意的k∈N*且k≥2都成立,解不等式组即可.2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.[解] (1)由n2-5n+4<0,解得1
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