2018年秋高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的通项与递推公式学案 新人教A版必修5

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1、第2课时　数列的通项与递推公式学习目标：1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会求数列中的最大(小)项(易错点)．[自主预习·探新知]1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前n项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：所有数列都有递推公式吗？[提示]　不一定．例如精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排列成一列数：1,1

2、.4,1.41,1.414，…没有递推公式．2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系f表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．[基础自测]1．思考辨析(1)根据通项公式可以求出数

3、列的任意一项．(　　)(2)有些数列可能不存在最大项．(　　)(3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　)(4)所有的数列都有递推公式．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　提示：并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递推公式．2．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)A．1,2,3,4，…　　　　　B．1,，2,2，…C.，2,，2，…D．0,，2,2，…B3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　)【导学号：91432124】A．－

4、3B．－11C．－5D．19D　[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________.　[a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.][合作探究·攻重难]由递推关系写出数列的项　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{

5、bn}的前4项.【导学号：91432125】[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.[规律方法]　由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写

6、出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.[跟踪训练]1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．[解]　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.故该数列的前5项为1，，，，.数列的最大(小)项的求法　已知数列{an}的

7、通项公式为an＝(n＋1)n，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由.【导学号：91432126】思路探究：①an＋1－an等于多少？②n为何值时，an＋1－an>0？an＋1－an<0?[解]　法一：(单调性法)∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)·n＝n·，当n<9时，an＋1－an>0，即an9时，an＋1－an<0，即an>an＋1；故a1a11>a12>…，所以数列

8、中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝.法二：(最大项法)设ak是数列{an}的最大项．则，即，整理得，得9≤k≤10，∴k＝9或10，即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.[规律方法]　求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且