2019_2020学年高中数学第2章变化率与导数3计算导数学案北师大版

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1、§3　计算导数学习目标核心素养1．理解导数的概念．(重点)2．会用导数定义求简单函数的导数．(难点)3.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数．(重点)1．通过导数概念的学习，提升学生的数学抽象的核心素养.2．通过求简单函数的导数的学习，培养学生数学运算的核心素养.1．导函数的概念一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表函数导函数y

2、＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α是实数)y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axln_a，特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝，特别地(lnx)′＝y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝tanxy′＝y＝cotxy′＝－[提醒]　特殊的幂函数y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数均可由“y＝xα时y′＝αxα－1”得到，即(x)′＝1，(x2)′＝2x，＝－，()′＝.1．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；③y＝2x，

3、则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为(　　)A．1B．2　　　C．3　　　D．4C　[对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C.]2．若函数f(x)＝(x－1)2，那么f′(x)＝________.2x－2　[∵f(x)＝x2－2x＋1，∴＝＝2x＋Δx－2．故f′(x)＝＝(2x＋Δx－2)＝2x－2．]3．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.10ln10　[f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.]利用导数公式求函数的导数【

4、例1】　求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝3x；(4)y＝log5x.思路探究：首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11．(2)y′＝＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝(3x)′＝3xln3.(4)y′＝(log5x)′＝.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“

5、与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.3x2－　[∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.]利用导数公式求函数在某点处的导数【例2】　质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝时的速度；(2)求质点运动的加速度．思路探究：(1)先求s′(t)，再求s′.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．[解]　(1)v(t)＝s′(

6、t)＝cost，∴v＝cos＝.即质点在t＝时的速度为.(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在处的导数．[解]　(1)∵f′(x)＝＝(x)′＝－x＝－，∴f′(1)＝－＝－.(2)∵f′(x)＝

7、－sinx，∴f′＝－sin＝－.导数公式的应用[探究问题]1．函数f(x)＝c与f(x)＝xα、f(x)＝sinx与f(x)＝cosx、f(x)＝ax与f(x)＝ex、f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数公式有什么特点和联系吗？[提示]　(1)幂函数f(x)＝xα中的α可以由Q*推广到任意实数．(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)′＝ex是(ax)′＝axlna的特例．(4)对数函数的导数等于x与底

8、数的自然对数乘积的倒数，(lnx)′＝是(logax)′＝的特例．2．应用导数解决有关切线问题的主要关注点有哪些？[提示]　(1)涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．【例3】　求过曲线f(x)＝cosx上一点P且与曲线在这点的切线