2019_2020学年高中数学课时分层作业18平面向量基本定理（含解析）苏教版必修4

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1、课时分层作业(十八)　平面向量基本定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是(　　)A．①④　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④C　[如图所示，与为不共线向量，可以作为基底.与为不共线向量，可以作为基底.与，与均为共线向量，不能作为基底．]2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　

2、)A．不共线B．共线C．相等D．不确定B　[a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．]3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为(　　)A．－2B．－4C．－6D．－8D　[易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴∴k＝－8.]4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝(　　)A.B．2C.D．4B　[由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴＝2.]5．在

3、△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)A.B.C.D.A　[∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又∵＝＋λ，∴λ＝.]二、填空题6．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________．a＋b　2a＋c　[由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．]7．△ABC中，＝，EF∥BC交AC于F点，设＝a，＝b，用a，b表示向量为_______

4、_．b－a　[如图，＝＋＝＋＝－a＋b.]8．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则＋＋＝________.0　[原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.]三、解答题9．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与.[解]　＝＋＝＋＝＋＝a＋b.＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.[解]

5、　设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴∴∴a＝－b＋c.[等级过关练]1．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.B　[如图，分别在，上取点E，F，使＝，＝，在上取点G，使＝，则EG∥AC，FG∥AE，∴＝＋＝，∴M与G重合，∴＝＝.]2.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，

6、则实数m的值为(　　)A．3B．1C.D.D　[设＝λ，＝－＝m＋－＝m－，λ＝λ(－)＝λ－＝λ－，∴∴m＝λ＝.]3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.b＋a　[∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋a.]4．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．∪　[当a∥b时，设a＝mb，则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，即e1＋2e2＝mλe1＋me2，所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.又a与b是一组基底，所以a与b

7、不共线，所以λ≠.]5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解]　(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m

8、＋3n)e2.∴⇒∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.