2019_2020学年高中数学课时分层作业11定积分的简单应用（含解析）新人教A版

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1、课时分层作业(十一)　定积分的简单应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)A.f(x)dxB.C.f(x)dx＋f(x)dxD.f(x)dx－f(x)dxD　[在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，∴S＝f(x)dx－f(x)dx.故选D.]2．如图所示，阴影部分的面积是(　　)A．2　　　　　　B．2－C.D.C　[S＝(3－x2－2x)dx＝＝.]3．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速运动时，在第1s至第2s之间的1s内经过

2、的路程是(　　)A．5mB.mC．6mD.mD　[根据题意，汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速运动时，汽车在第1s至第2s之间的1s内经过的路程s＝(3t＋2)dt＝＝m，故选D.]4．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)A.mB.mC.mD.mA　[v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2s.又∵v0＝40m/s，∴t0＝0s．∴h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．]5．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，

3、为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为(　　)A．0.5JB．1JC．50JD．100JA　[由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为W＝∫F(x)dx＝∫xdx＝x2＝50(N·cm)＝0.5(J)．]二、填空题6．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是，则c＝________.　[由得由题意可知∫0(x2－cx3)dx＝，即0＝－＝，解得c＝.]7．质点运动的速度是(18t－3t2)m/s，质点在[0,8]时间

4、段内所通过的路程为________．152m　[路程s＝(18t－3t2)dt＋(3t2－18t)dt＝(9t2－t3)＋(t3－9t2)＝9×62－63＋83－9×82－63＋9×62＝152(m)．]8．如图所示，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．＋ln2　[S＝dx＋dx＝x＋lnx＝＋ln2.]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分

5、)的面积为，求a的值．[解]　由题图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)．有＝∫[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，所以a＝±3.又－a＞0⇒a＜0，所以a＝－3.10．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)此点在t＝4s时的位置；(2)此点在t＝4s时运动的路程．[解]　因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]

6、上哪些时间段的位移为负．(1)在t＝4s时，该点的位移为(t2－4t＋3)dt＝＝(m)．即在t＝4s时该点在距出发点m处．(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴该点在t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋＋(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)．[能力提升练]1.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的

7、图形的面积为(　　)A.B.C.D.B　[由图可知f(x)＝－x2＋1.∴f(x)与x轴围成的图形的面积S＝(1－x2)dx＝＝－＝＋＝.]2．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2C　[令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离s＝dt＝7t－t2＋25ln(1＋t)＝28－24＋

8、25ln5＝4＋25ln5.]3．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．　[由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.由得C(2,2)．∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－＝2－＝.]4．如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD＝30m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角