2019_2020学年高中数学1.7.1定积分的简单应用课时作业（含解析）新人教A版

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1、课时作业14　定积分的简单应用知识点一不分割图形面积的求解　　　　　　　　　　　　　　　　1.由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，直线x＝a，x＝b(a＜b)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于(　　)答案　B解析　由定积分的几何意义，可知S＝－af(x)dx.2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)A．2B．4C．2D．4答案　D解析　由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝＝4.3．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　

2、)A.B．4C.D．6答案　C解析　如下图阴影部分面积即为所求，求得曲线y＝与直线y＝x－2的交点为A(4,2)，∴面积S阴＝(－x＋2)dx＝＝.知识点二分割图形面积的求解4.由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为(　　)A.B．1C.D.答案　B解析　由图可知，所求面积S＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＝＋＝＋＝1.5．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积等于(　　)答案　C解析　如下图．阴影部分的面积S＝2(x－x3)dx.故选C.6．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值．解　由定积分与微

3、积分基本定理，得S＝S1＋S2＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝＋＝t3－t3＋－t2－t3＋t3＝t3－t2＋，t∈(0,1)，所以S′＝4t2－2t，所以t＝或t＝0(舍去)．当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′－0＋S单调递减极小值单调递增所以当t＝时，S最小，且Smin＝.一、选择题1．如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　)A.

4、x2－1

5、dxB.C.(x2－1)dxD.(x2－1)dx答案　A解析　由曲线y＝

6、x2－1

7、的对称性，所求阴影部分的面积与如图所示的阴影部分的面积相等，即

8、x2－1

9、dx.故选A.2．如图，阴影

10、部分的面积为(　　)A．9B.C.D.答案　B解析　由求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2(－x2＋1)dx＝2＝.故选B.4．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)A.B．2C.D.答案　C解析　由题知，抛物线C的焦点为F(0,1)，又l过F且与y轴垂直，∴l为y＝1，∴l与C所围成的图形面积S＝4×1－dx＝4－＝4－＝4－＝.5．若两曲线y

11、＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是，则c等于(　　)A.B.C．1D.答案　B解析　由得x＝0或x＝.∵0＜x＜时，x2＞cx3，＝－＝＝，∴c3＝，∴c＝.二、填空题6．曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积为________．答案　e＋－2解析　作出图形，如图所示．S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋－(1＋1)＝e＋－2.7．由正弦曲线y＝sinx，x∈和直线x＝π及x轴所围成的平面图形的面积等于________．答案　3解析　如图，所围成的平面图形(阴影部分)的面积8．如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与

12、△OAP面积相等时，x0＝________.答案　解析　由题意得阴影部分的面积为x2dx＝x，因此x＝×·x0，解得x0＝.三、解答题9．计算由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解　画出两函数的图象，如图所示：由得或又直线x＋y＝3与x轴交于点(3,0)，∴S＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx＝＋＝＋1＋－＝.10．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．解　由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2

13、x0x－x与x轴所围图形如右图所示．故S＝S1＋S2＝＝，解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，所求切线方程为y＝2x－1.