2018年秋高中数学1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案新人教a版

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1、1.7　定积分的简单应用1.7.1　定积分在几何中的应用1.7.2　定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝f(x)dxf(x)＜0S＝－f(x)dx(2)一般地，如图171，如果在公共的积分区间[a，

2、b]上有f(x)＞g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F

3、(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a

4、3与直线y＝x所围成的图形的面积等于(　　)【导学号：31062099】C　[由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．显然S＝2(x－x3)dx.]3．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6s间的运动路程为(　　)【导学号：31062100】A．46m　　　　　　　B．46.5mC．87mD．47mB　[s＝(3t＋2)dt＝＝(54＋12)－＝46.5(m)．]4．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3

5、处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.[解析]　由题意可知，力F(x)所作的功W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14J.[答案]　14[合作探究·攻重难]利用定积分求平面图形的面积问题[探究问题]观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分[－(x－4)]dx表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x∈[0,8]时，被积函数y＝－(x－4)表示的图形如图所示：2．若以x为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？提示：S＝2dx＋[－(x－

6、4)]dx.3．能否以y为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？提示：能．可表示为S＝dy.　(1)已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为，则k＝________.图173(2)求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．[解]　(1)由解得或故阴影部分的面积为(kx－x2)dx＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组及得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S＝dx＋(2－x)－dx＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝＋6

7、－×9－2＋＝.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”，则x0＝________.图174[解]　由题意知即x0＝x，解得x0＝或x0＝－或x0＝0.∵x0＞0，∴x0＝.2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.[解]　∵y′

8、x＝2＝4，故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面积S＝x2dx＋(x

9、2－4x＋4)dx＝x3＋＝.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2＝x，y＝2－x所围成的图形的面积．”[解]　由得或∴阴影部分的面积S＝(2－y－y2)dy＝＝－＝.[规律方法]　求曲边梯形面积的一般步骤如下：　求变速直线运动的路程　有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度