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1、课时分层作业(十一)定积分的简单应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．用S表示图1-7-6中阴影部分的面积，则S的值是()图1-7-6D[在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，∴S＝f(x)dx－f(x)dx.故选D.]2．如图1-7-7，阴影部分的面积是()图1-7-7A．23B．2－3C．32D．3533＝－2－＝1321＝32C(3x3x－x－x－33.][S2x)dx3
2、10，0≤x≤2，(单位：N)的作用下沿与力F相同的3．一物体在力F(x)＝3x＋4，x>2，方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A．44JB．46JC．48
3、JD．50JB[W＝F(x)dx＝10dx＋(3x＋4)dx2324＝46(J)．]＝10x
4、＋2x＋4x
5、024．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()【导学号：31062103】第1页16080A.3mB.3m4020C.3mD.3mA[v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2s.又∵v0＝40m/s，∴t0＝0s.∴h＝5．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为()A．0.5JB．1JC．50JD．100JA[由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x
6、)＝x，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为W＝F(x)dx＝xdx＝＝50(N·cm)＝0.5(J)．]二、填空题．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是2，则c＝________.631[解析]y＝x2x＝0x＝c由得1y＝cx3y＝0，y＝c2.由题意可知1[答案]27．质点运动的速度是(18t－3t2)m/s，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________.【导学号：31062104】第2页[解析]路程s＝(18t－3t2)dt＋(3t2－18t)dt63－9t2)8＝(9t2－t3)
7、0＋(t
8、6＝9×62－63＋83－9×82－63＋9×62＝152(
9、m)．[答案]152(m)128．如图1-7-8，阴影部分是由曲线y＝x，y＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．图1-7-81[解析]S＝1xdx＋2xdx01212＝3x01
10、＋lnx
11、2＝3＋ln2.[答案]2＋ln23三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图1-7-9所示，它与直线y27＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为4，求a的值．图1-7-9[解]由图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)．有[0－(x3＋ax2)]dx434
12、xax－aa第3页所以a＝±3.又－a＞0?a＜0，所以a＝－3.10．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)此点在t＝4s时的位置；(2)此点在t＝4s时运动的路程.【导学号：31062105】[解]因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负．(1)在t＝4s时，该点的位移为4即在t＝4s时该点在距出发点3m处．(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴该点
13、在t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)．[能力提升练]1.已知二次函数y＝f(x)的图象如图1-7-10所示，则它与x轴所围成的图形的面积为()图1-7-102π4A.5B.33πC.2D.2B[由图可知f(x)＝－x2＋1.∴f(x)与x轴围成的图形的面积S＝第4页2x3111224(1－x)dx＝x－3
14、－1＝1－3－－1＋3＝3＋3＝3.]2．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋25的单位：，的单位：行驶至停止．在此期间汽车继续行驶
15、的1＋t(tsvm/s)距离(单位：m)是()11A．1＋25ln5B．8＋25ln3C．4＋25ln5D．4＋50ln2C[令v(t)＝0，8得t＝4或t＝－3(舍去)，∴汽车行驶距离s＝43244＝7t
16、－t
17、＋25ln(1＋t)
18、0200＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.]3．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．[解析]由y′＝－2x＋4，得
