2019_2020学年高中数学第2章参数方程2.3圆锥曲线的参数方程讲义新人教B版

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1、2.3　圆锥曲线的参数方程2.3.1　椭圆的参数方程2.3.2　抛物线的参数方程2.3.3　双曲线的参数方程学习目标：1.了解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点)1．椭圆的参数方程(1)椭圆＋＝1的参数方程为，0≤t≤2π.(2)若椭圆的中心不在原点而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆的参数方程为，0≤t≤2π.2．双曲线的参数方程双曲线－＝1的参数方程为.3．抛物线的参数方程抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈

2、R，t为参数)．思考1：椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？[提示]　椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．思考2：双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数secφ的意义是什么？[提示]　secφ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.思考3：类比y2＝2px(p>0)，你能得到x2＝2py(p>0)的参数方程吗？[提示]　(p>0，t为参数，t∈R)．1．参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)A

3、．x2＋＝1　B．x2＋＝1C．y2＋＝1D．y2＋＝1[解析]　易知sinθ＝x，cosθ＝，∴x2＋＝1.[答案]　A2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一部分[解析]　由cosθ·x＝a，∴cosθ＝，代入y＝bcosθ，得xy＝ab，又由y＝bcosθ知，y∈[－

4、b

5、，

6、b

7、]，∴曲线应为双曲线的一部分．[答案]　D3．已知点M(3，m)在以F为焦点的抛物线(t为参数)上，则

8、MF

9、等于(　　)A．1　B．2C．3　D．4[解析]　由得∴＝，即y2

10、＝4x，∴p＝2.∴

11、MF

12、＝3＋＝3＋1＝4.[答案]　D4．点P(x，y)在椭圆＋y2＝1上，则x＋y的最大值为________．[解析]　由已知可得椭圆的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝2cosθ＋sinθ＝sin(θ＋φ)(tanφ＝2)，∴(x＋y)max＝.[答案]　椭圆的参数方程及应用【例1】　将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．[思路探究]　根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．[解]　由得两式平方相加，得＋＝1.∴a

13、＝5，b＝3，c＝4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．1．若本例的参数方程为(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？[解]　将化为，两式平方相加，得＋＝1.其中a＝5，b＝3，c＝4.所以方程的曲线表示焦点为F1(0，－4)与F2(0,4)的椭圆．【例2】　已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：＋＝1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并

14、说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值．[思路探究]　(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．[解]　(1)由，得，∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为(θ为参数)．(2)

15、依题设，当t＝时，P(－4,4)；且Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋sinθ)．又C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝

16、4cosθ－3sinθ－13

17、＝

18、5cos(θ＋φ)－13

19、，从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取得最小值.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．本题易错点主要有：一是在第(1)问中，不能将圆的参数方程化为普通方程；二是在第(2)问中对绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ＋φ)＝－1时取最小值，从而得出错误结论．2．第(2)问设计

20、十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解]　(1)因为－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以