2019_2020学年高中数学第2讲参数方程2圆锥曲线的参数方程学案新人教A版

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1、二　圆锥曲线的参数方程学习目标：1.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)教材整理1　椭圆的参数方程阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程＋＝1(a>b>0)(φ为参数)＋＝1(a>b>0)(φ为参数)椭圆(φ为参数)的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.[解析]　由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝.[答案]　B教材整理2　双曲线的参数方程阅读教材P29～P3

2、2，完成下列问题．普通方程参数方程－＝1(a>0，b>0)(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是(　　)A.－＝1B.－＝－1C.－x2＝1D.－x2＝－1[解析]　由x＝secθ得，x2＝＝＝3tan2θ＋3，又∵y＝tanθ，∴x2＝3y2＋3，即－y2＝1.经验证可知，选项B合适．[答案]　B教材整理3　抛物线的参数方程阅读教材P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．1．抛物线y2＝2px的参数方程是(t为参数)．2．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P(

3、3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则

4、PF

5、＝________.[解析]　抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，

6、PF

7、等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.[答案]　4椭圆的参数方程及应用【例1】　将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．[思路探究]　根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．[自主解答]　由得两式平方相加，得＋＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．　椭圆的参数

8、方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．1．若本例的参数方程为(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？[解]　将化为两式平方相加，得＋＝1.其中a＝5，b＝3，c＝4.所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4).双曲线参数方程的应用【例2】　求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[思路探究]　设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．[自主解答]　由双曲线－＝1，得

9、两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝·＝＝(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用．2．如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：

10、PF1

11、·

12、PF2

13、＝

14、OP

15、2.[证明]　设P(secφ，tanφ)，∵F1(－，0)，F2(，0)，∴

16、PF1

17、

18、＝＝，

19、PF2

20、＝＝，

21、PF1

22、·

23、PF2

24、＝＝2sec2φ－1.∵

25、OP

26、2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴

27、PF1

28、·

29、PF2

30、＝

31、OP

32、2.抛物线的参数方程【例3】　设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．[思路探究]　解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．[自主解答]　设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，QF的方程为y＝－2t，它们的交点M(

33、x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y2＝－2x，∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．当t＝0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.1．抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．3．已知抛物线的参数方程为(t为参

34、数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若

35、EF

36、＝

37、MF

38、，点M的横坐标是3，则p＝________.[解析]　根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E，F，所以＋3＝，所以