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时间:2019-10-31
《2019_2020学年高中数学第2讲参数方程2圆锥曲线的参数方程学案新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二 圆锥曲线的参数方程学习目标:1.理解椭圆的参数方程及其应用.(重点)2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.(难点、易错点)教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P27~P29“思考”及以上部分,完成下列问题.普通方程参数方程+=1(a>b>0)(φ为参数)+=1(a>b>0)(φ为参数)椭圆(φ为参数)的离心率为( )A. B.C.D.[解析] 由椭圆方程知a=5,b=4,∴c2=9,c=3,e=.[答案] B教材整理2 双曲线的参数方程阅读教材P29~P3
2、2,完成下列问题.普通方程参数方程-=1(a>0,b>0)(φ为参数)下列双曲线中,与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.-=1B.-=-1C.-x2=1D.-x2=-1[解析] 由x=secθ得,x2===3tan2θ+3,又∵y=tanθ,∴x2=3y2+3,即-y2=1.经验证可知,选项B合适.[答案] B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P33~P34“习题”以上部分,完成下列问题.1.抛物线y2=2px的参数方程是(t为参数).2.参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.若点P(
3、3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,则
4、PF
5、=________.[解析] 抛物线为y2=4x,准线为x=-1,
6、PF
7、等于点P(3,m)到准线x=-1的距离,即为4.[答案] 4椭圆的参数方程及应用【例1】 将参数方程(θ为参数)化为普通方程,并判断方程表示曲线的焦点坐标.[思路探究] 根据同角三角函数的平方关系,消去参数,化为普通方程,进而研究曲线形状和几何性质.[自主解答] 由得两式平方相加,得+=1.∴a=5,b=3,c=4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆,焦点坐标为F1(4,0)和F2(-4,0). 椭圆的参数
8、方程(θ为参数,a,b为常数,且a>b>0)中,常数a,b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长,焦点在长轴上.1.若本例的参数方程为(θ为参数),则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标?[解] 将化为两式平方相加,得+=1.其中a=5,b=3,c=4.所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆,焦点坐标为F1(0,-4)与F2(0,4).双曲线参数方程的应用【例2】 求证:双曲线-=1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.[思路探究] 设出双曲线上任一点的坐标,可利用双曲线的参数方程简化运算.[自主解答] 由双曲线-=1,得
9、两条渐近线的方程是:bx+ay=0,bx-ay=0,设双曲线上任一点的坐标为(asecφ,btanφ),它到两渐近线的距离分别是d1和d2,则d1·d2=·==(定值).在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时,使用曲线的参数方程非常简捷方便,其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用,另外本题要注意公式sec2φ-tan2φ=1的应用.2.如图,设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1、F2是两个焦点,证明:
10、PF1
11、·
12、PF2
13、=
14、OP
15、2.[证明] 设P(secφ,tanφ),∵F1(-,0),F2(,0),∴
16、PF1
17、
18、==,
19、PF2
20、==,
21、PF1
22、·
23、PF2
24、==2sec2φ-1.∵
25、OP
26、2=sec2φ+tan2φ=2sec2φ-1,∴
27、PF1
28、·
29、PF2
30、=
31、OP
32、2.抛物线的参数方程【例3】 设抛物线y2=2px的准线为l,焦点为F,顶点为O,P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP的交点M的轨迹方程.[思路探究] 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程,然后化为普通方程即可.[自主解答] 设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数),当t≠0时,直线OP的方程为y=x,QF的方程为y=-2t,它们的交点M(
33、x,y)由方程组确定,两式相乘,消去t,得y2=-2x,∴点M的轨迹方程为2x2-px+y2=0(x≠0).当t=0时,M(0,0)满足题意,且适合方程2x2-px+y2=0.故所求的轨迹方程为2x2-px+y2=0.1.抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数),参数t为任意实数,它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程,其基本思想是选取适当的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参数有关,从而得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为普通方程.3.已知抛物线的参数方程为(t为参
34、数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E,若
35、EF
36、=
37、MF
38、,点M的横坐标是3,则p=________.[解析] 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2=2px,所以y=6p,所以E,F,所以+3=,所以
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