2019_2020学年高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程学案新人教A版

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1、三　直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)教材整理　直线的参数方程阅读教材P35～P39，完成下列问题．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是：

2、t

3、是直线l上任一点M(x，y)到定点M0(x0，y0)的距离，即

4、t

5、＝

6、

7、.曲线(t为参数)与坐标轴的交点是(　　)A.、B.、C．(0，－4)、(8,0)D.、(8,0)[解析]　当x＝0时，t＝，而y＝1－2t，即y＝，得与y轴的交点为；当y＝0时，t＝，

8、而x＝－2＋5t，即x＝，得与x轴的交点为.[答案]　B直线参数方程的简单应用【例1】　已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？[思路探究]　考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答]　将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为(t′为参数)，代入圆方程x2＋y2＝9，得2＋2＝9，整理，有t′2＋8t′－4＝0.由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－，t′1·t′2＝－4.

9、根据参数t′的几何意义．

10、t′1－t2′

11、＝＝.故直线被圆截得的弦长为.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用

12、t1－t2

13、来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝

14、t1－t2

15、；(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求

16、M1M2

17、及中点坐标)．1．在极坐标系中，已知圆心C，半径r＝1.

18、(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线(t为参数)与圆交于A，B两点，求弦AB的长．[解]　(1)由已知得圆心C，半径为1，圆的方程为＋＝1，即x2＋y2－3x－3y＋8＝0.(2)由(t为参数)得直线的直角坐标系方程x－y＋1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，所以2＋d2＝1，解得

19、AB

20、＝.参数方程与极坐标的综合问题【例2】　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A

21、，B，若点P的坐标为(3，)，求

22、PA

23、＋

24、PB

25、.[思路探究]　(1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A、B的坐标，也可考虑利用t的几何意义求解．[自主解答]　(1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.(2)法一　直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.与圆C：x2＋(y－)2＝5联立，消去y，得x2－3x＋2＝0，解得或不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)．又点P的坐标为(3，)，故

26、PA

27、＋

28、PB

29、＝＋＝3.法二　将l的参数方程代入x2＋(y－)2＝5，得2＋2＝

30、5，即t2－3t＋4＝0，(*)由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0.故可设t1，t2是(*)式的两个实根，∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4，∴t1>0，t2>0.又直线l过点P(3，)，∴由t的几何意义，得

31、PA

32、＋

33、PB

34、＝

35、t1

36、＋

37、t2

38、＝3.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t的几何意义，简化了计算．2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐

39、标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求

40、PA

41、2＋

42、PB

43、2＋

44、PC

45、2＋

46、PD

47、2的取值范围．[解]　(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝

48、PA

49、2＋

50、PB

51、2＋

52、PC

53、2＋

54、PD

55、2，则S＝(2cosφ－1)2＋(－3sinφ)2＋(－－2cosφ)2＋(1－3sinφ)2＋(－1－2cosφ)2＋(－－3sinφ)2＋(－2

56、cosφ)2＋(－1－3sinφ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.∵0≤si