2018_2019学年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程学案新人教a版

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1、三　直线的参数方程学习目标　1.理解并掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题．知识点　直线的参数方程思考1　如图，直线l过定点M0(x0，y0)且倾斜角为α，那么直线的点斜式方程是什么？答案　y－y0＝tanα(x－x0)．思考2　在思考1中，若令x－x0＝tcosα(t为参数)，那么直线l的参数方程是什么？答案　(t为参数)．梳理　(1)直线的参数方程①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)；②由α为直线的倾斜角知，当0<α<π时，sinα>0.(2)直线参数方程中参数t的

2、几何意义参数t的绝对值表示t对应的点M到M0的距离．①当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数；②当与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.(3)重要公式：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA，tB，则

3、AB

4、＝

5、tB－tA

6、＝.类型一　直线的参数方程与普通方程的互化例1　(1)化直线l1的普通方程x＋y－1＝0为参数方程，并说明

7、t

8、的几何意义；(2)化直线l2的参数方程(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明

9、t

10、的几何意义．解　(1)直线l1与x轴交于点M0(1,0)，又k＝tanα＝－，∴

11、cosα＝－，sinα＝，∴直线l1的参数方程为(t为参数)．

12、t

13、表示t对应的点M(x，y)到M0的距离．(2)方程组变形为①代入②消去参数t，得直线的点斜式方程y－1＝(x＋3)，可得k＝tanα＝，倾斜角α＝，普通方程为x－y＋3＋1＝0.又∵①②两式平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，∴

14、t

15、＝，

16、t

17、是定点M1(－3,1)到t对应的点M(x，y)的有向线段的长的一半．反思与感悟　(1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α<π)惟一确定，直线上动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，

18、这是直线参数方程的标准形式，特别地，当α＝时，直线的参数方程为(t为参数)．(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a，b为常数，t为参数)．跟踪训练1　已知直线l：(t为参数)．(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M(－3，0)对应的参数t，并说明t的几何意义．解　(1)由直线l：(t为参数)知，当t＝0,2，－2时，分别对应直线l上的点(－，2)，(0,3)，(－2，1)．(2)方法一　化直线l

19、：(t为参数)为普通方程为y－2＝(x＋)，设直线l的倾斜角为α，则k＝tanα＝(0≤α<π)，解得α＝.故直线l的倾斜角为.方法二　易知直线l：(t为参数)，则直线l过定点M0(－，2)，且倾斜角为，故直线l的倾斜角为.(3)由(2)可知直线l的单位向量e＝＝，且M0(－，2)，又已知M(－3，0)，∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e，∴点M(－3，0)对应的参数t＝－4，几何意义为

20、

21、＝4，且与e方向相反．类型二　直线参数方程的应用命题角度1　求弦长

22、AB

23、问题例2　已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线

24、交抛物线于A，B两点．(1)求

25、AB

26、；(2)求AB的中点M的坐标及

27、FM

28、.解　抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，依题意，设直线AB的参数方程为(t为参数)，其中cosα＝，sinα＝，α为直线AB的倾斜角．将代入y2＝8x，整理得t2－2t－20＝0.设A，B对应的参数值为t1，t2，则t1＋t2＝2，t1t2＝－20.(1)

29、AB

30、＝

31、t2－t1

32、＝＝＝10.(2)设AB的中点为M(x，y)，则＝，∴－＝－，∴＝(＋)＝e＝e，故点M对应的参数为，由得M(3,2)，

33、FM

34、＝＝.反思与感悟　设二次曲线C：F(x，

35、y)＝0，直线l：(t为参数)，如果l与C相交于A，B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后，可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根t1，t2，此时＝t1e，＝t2e，e＝(cosα，sinα)，于是易得以下两个常见的公式：(1)

36、AB

37、＝

38、t1－t2

39、；(2)线段AB的中点M对应的参数t＝，且

40、M0M

41、＝.跟踪训练2　直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．(1)求弦长

42、AB

43、；(2)求A，B两点坐标．解　(1)∵直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝，∴可设直线l的

44、参数方程为(t为参数)，代入圆方程，得2＋2＝7.整理得t2－4t＋9＝0.①设A，B对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝4，t1t2＝9，∴

45、AB

46、＝

47、t2－t1

48、＝＝2.(2)解①得t1＝3，t2＝，代入直线参数方程得A，B或A，B.命题角度2　求积

49、M0A

50、·

51、M0B

52、问题