2019_2020学年高中数学第2章参数方程2.2直线和圆的参数方程讲义新人教B版

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1、2.2　直线和圆的参数方程2.2.1　直线的参数方程2.2.2　圆的参数方程学习目标：1.理解直线的参数方程．(难点)2.掌握圆的参数方程．(重点)1．直线的参数方程(1)经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是：

2、t

3、是直线l上任一点M(x，y)到点M0(x0，y0)的距离，即

4、t

5、＝

6、M0M

7、.(2)设直线过点M0(x0，y0)，且与平面向量a＝(l，m)平行(或称直线与a共线，其中l，m都不为0)，直线的参数方程的一般形式为t∈R.2．圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为0≤θ

8、≤2π.特别地，若圆心在原点，半径为R，则圆的参数方程为.思考1：若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？[提示]　参数方程为思考2：如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示]　过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的向量的长度，即

9、t

10、＝

11、

12、.①当t＞0时，的方向向上；②当t＜0时，的方向向下；③当t＝0时，点M与点M0重合．1．直线(α为参数，0≤α＜π)必过点(　　)A．(1，－2)　　　B．(－1,2)C．(－2,1)D．(2，－1)[解析]　直线表示过点(1

13、，－2)的直线．[答案]　A2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为(　　)A．1B．－1C.．　D．－[解析]　消去参数t，得方程x＋y－1＝0，∴直线l的斜率k＝－1.[答案]　B3．参数方程(α为参数)化成普通方程为______．[解析]　∵(α为参数)，∴(α为参数)．①2＋②2得x2＋(y－1)2＝1，此即为所求普通方程．[答案]　x2＋(y－1)2＝14．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.[解析]　将化为y＝－x＋，∴斜率k1＝－，显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直．∴k≠0，从而直线4x＋ky

14、＝1的斜率k2＝－.依题意k1k2＝－1，即－×(－)＝－1，∴k＝－6.[答案]　－6直线的参数方程【例1】　已知直线l：(t为参数)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若点M(－3，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．[思路探究]　将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t.[解]　(1)由于直线l：(t为参数)表示过点M0(－，2)且倾斜角为的直线，故直线l的倾斜角α＝.(2)由(1)知，直线l的单位方向向量e＝(cos，sin)＝(，)．∵M0(－，2)，M(－3，0)，∴＝(－2，－2)＝－4(，)＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4，

15、几何意义为

16、

17、＝4，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数)．1．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求

18、PA

19、·

20、PB

21、.[解]　(1)直线l的参数方程为(t为参数)．(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去

22、，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得42＋(3＋t)2－16＝0.即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.由t的几何意义，知

23、PA

24、·

25、PB

26、＝

27、t1·t2

28、，故

29、PA

30、·

31、PB

32、＝

33、t1·t2

34、＝.圆的参数方程及应用【例2】　设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(　　)A．1　B．2C．3D．4[思路探究]　求曲线C的几何特征，化参数方程为普通方程(x－2)2＋(y＋1)2＝9，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定．[解]　由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲线C

35、表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝<3，所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d<，故满足题意的点有2个．[答案]　B1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系．2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．2．已知直线x＝y，与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长

36、AB

37、.[解]　由得∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径