高考数学总复习第二章函数第6讲函数的值域与最值练习理新人教版

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1、第6讲　函数的值域与最值夯实基础　【p14】【学习目标】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法．【基础检测】1．函数y＝－1的值域为(　　)A．[1，＋∞)B．(－1，1)C．(－1，＋∞)D．[－1，1)【解析】因为2x>0，所以4－2x<4，所以0≤<2，所以函数y＝－1的值域为[－1，1)．【答案】D2．已知函数f＝，当x∈时，函数f(x)的值域为(　　)A.B.∪C.D.【解析】由f＝＝2＋，x∈，因为f(x)＝2＋在x∈上是减函数，所以当x＝2，f(x)max＝7，又f(x)＝2＋

2、>2，所以值域为.【答案】C3．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)B．(－1，2]C．[－1，2]D．[2，5]【解析】∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.【答案】C4．已知函数y＝－x2－2ax的最大值是a2，则实数a的取值范围是________．【解析】函数y＝－x2－2ax＝－＋a2，当x＝－a时，函数有最大值a2，又

3、因为0≤x≤1，所以0≤－a≤1，－1≤a≤0，故实数a的取值范围是.【答案】[－1，0]5．函数f＝的最大值为________．【解析】∵2－x＝＋≥，∴f≤，即最大值为.【答案】【知识要点】1．函数的值域函数f(x)的值域是__函数值y__的集合，记为{y

4、y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．2．常见函数的值域(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为__R__．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为.(3)反比例函数y＝(k≠0)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(4)指数函数y＝a

5、x(a＞0且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__．(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为__R__．(6)正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的值域为__[－1，1]__；正切函数y＝tanx的值域为__R__．3．函数的最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M：(1)若∀x∈I，f(x)≤M且∃x0∈I，f(x0)＝M，则称M为f(x)的__最大值__．(2)若∀x∈I，f(x)≥M且∃x0∈I，f(x0)＝M，则称M为f(x)的__最小值__．典例剖析　【p14】考点1　函数值域的求法求下列函数的值域：(1)f(

6、x)＝3x－1，x∈{x∈N

7、1≤x≤4}；(2)y＝2x＋；(3)y＝；(4)y＝x2－2x＋3，x∈{x

8、0≤x＜3}；(5)y＝；(6)y＝2x－；(7)f(x)＝

9、2x＋1

10、－

11、x－4

12、.【解析】(1)由x∈{x∈N

13、1≤x≤4}可知定义域为{1，2，3，4}，代入函数式可得值域为{2，5，8，11}．(2)(三角换元法)令x＝cost(0≤t≤π)，∴y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ).∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ，∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.故函数的值域为[－2，]．(3)(均值不等式法)∵y＝＝＝(x－1)＋，

14、又∵当x＞1时，x－1＞0；当x＜1时，x－1＜0.∴当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3时等号成立；当x<1时，y＝－≤－4，且当x＝－1时，等号成立．综上得函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(4)(配方法)由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，又x∈{x

15、0≤x＜3}，再结合函数的图象(如下图)，可得函数的值域为{y

16、2≤y＜6}．(5)(分离常数法)因为y＝＝＝5＋，且≠0，所以y≠5，所以函数的值域为{y

17、y≠5}．(6)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图

18、象(如图)，可得函数的值域为.(7)(图象法)f(x)＝作出其图象：由图象知函数f(x)的值域是.【点评】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)；⑥判别式法；⑦不等式法；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域．考点2　函数的最值及应用(1)若f(x)＝＋的最小值与g(x)＝－(a>0)的最大值相等，则a的值为(　　)A．1B.C．2D．2【解析】f(x)在定义域[2，＋∞)上是增函数，所以f(x)的最

19、小值f(2)＝2，又g(x)＝在定义域[a，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值g(a)＝，