2020版高考数学总复习第二章函数第6讲函数的值域与最值练习文新人教A版

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1、第6讲　函数的值域与最值夯实基础　【p15】【学习目标】理解函数值域与最值的意义；熟练掌握基本初等函数的值域；掌握求函数的值域和最值的基本方法．【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知集合A＝{x

2、y＝}，B＝{y

3、y＝x2＋1}，则A∩B＝(　　)A．B．[－1，1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】A＝{x

4、y＝}＝{x

5、x≥－1}，B＝{y

6、y＝x2＋1}＝{y

7、y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．【答案】D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x)＋1

8、的值域为(　　)A．[a，b]B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1]D．无法确定【解析】∵f(x)的值域为[a，b]，∴f(x)∈[a，b]，∴f(x)＋1∈[a＋1，b＋1]．故选B.【答案】B3．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①y＝3－x的定义域和值域均为R.②y＝2x－1(x>0)定义域为(0，＋∞)，值域为.③y＝x2＋2x－10定义域为R，值域为{y

9、y≥－11}．④y＝

10、的定义域和值域均为R.定义域与值域相同的函数是①④，共两个，故选B.【答案】B4．函数y＝x2－2x(－2≤x≤4，x∈Z)的值域为____________．【解析】根据－2≤x≤4，x∈Z，确定x的值，代入函数解析式，即可求得函数的值域．【答案】【知识要点】1．函数的值域函数的值域是__函数值__的集合，记为{y

11、y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．2．常见函数的值域(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为__R__．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为____；当a

12、＜0时，值域为____．(3)反比例函数y＝(k≠0)的值域为__(－∞，0)∪(0，＋∞)__．(4)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__．(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为__R__．(6)正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的值域为__[－1，1]__；正切函数的值域为__R__．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意的x∈I

13、，都有__f(x)≥M__；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值典例剖析　【p15】考点1　函数值域的求法求下列函数的值域．(1)y＝；(2)f(x)＝

14、1－x

15、－

16、x－3

17、，x∈R；(3)y＝x＋4；(4)y＝.【解析】(1)∵y＝＝－1＋，且x2＋1≥1，∴0<≤2，∴－1<－1＋≤1，∴函数y＝的值域是(－1，1]．(2)f(x)＝

18、1－x

19、－

20、x－3

21、＝

22、x－1

23、－

24、x－3

25、，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴可知值域为[－2，2]．(3

26、)换元法：设t＝≥0，则x＝1－t2，∴原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，∴y≤5，∴原函数值域为(－∞，5]．(4)y＝＝＝x＋＝x－＋＋，∵x>，∴x－>0，∴x－＋≥2＝，当且仅当x－＝时，即x＝时等号成立．∴y≥＋，∴原函数的值域为.【小结】求函数的值域常用的方法：(1)观察法：对于一些较为简单的函数，其值域可通过观察法得到；(2)利用常见函数的值域来求；(3)单调性法：若为单调函数，可利用单调性直接求解．(4)分离常数法：即将分式转化为“反比例型”函数，再求值域；(5)换元法：

27、换元时，务必注意新变量的取值范围，否则将会扩大取值范围．(6)不等式法：用基本不等式、绝对值不等式等求．考点2　函数最值的求法求下列函数的最值．(1)y＝x3－4x2＋4x，x∈[0，3]；(2)y＝，0＜x＜π.【解析】(1)y′＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，令y′＝0得x＝2或x＝，而f(0)＝0，f(2)＝0，f＝，f(3)＝3，∴当x＝3时，ymax＝3；当x＝0或2时，ymin＝0.(2)y＝sinx＋，x∈(0，π)．令sinx＝t，则t∈(0，1]，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，ymi

28、n＝2，故当x＝时，ymin＝2，无最大值．【小结】如第(1)题，连续的函数在闭区间上一定有最大、最小值，它们一定在端点或极值点处取得，第(2)题则转化为用基本不等式求最值．考点3　含参函数值域和最值问题已知函数f(x)＝x3＋

29、x－a

30、(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(2)当a∈(0，1)时，求f(x)在区间[－1，