（新课标）高考数学复习第二章函数第5讲函数的值域与最值导学案新人教A版.docx

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1、第5讲　函数的值域与最值【课程要求】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法．对应学生用书p12【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x)在上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则函数的最小值是1，最大值是＋∞.(　　)(2)函数y＝的值域是(0，＋∞)．(　　)(3)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)[答案](1)×　(2)×　(3)√2．[必修1p39B组T1]

2、函数f(x)＝x2－2x的值域是________________．[答案][－1，＋∞)3．[必修1p31例4]函数y＝在[2，3]上的最大值是________．[答案]24．函数y＝－1的值域为(　　)A．[1，＋∞)B．(－1，1)C．(－1，＋∞)D．[－1，1)[解析]因为2x>0，所以4－2x<4，所以0≤<2，所以函数y＝－1的值域为[－1，1)．[答案]D5．已知函数f＝，当x∈时，函数f(x)的值域为(　　)A.B.∪C.D.[解析]由f＝＝2＋，x∈，因为f(x)＝2＋在x∈上是减函数，所以当x＝2，f(x)

3、max＝7，又f(x)＝2＋>2，所以值域为.[答案]C6．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)B．(－1，2]C．[－1，2]D．[2，5][解析]∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.[答案]C【知识要点】1．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I

4、，都有__f(x)≤M__；(2)存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__(3)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；(4)存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__结论M为最大值M为最小值2.函数的值域(1)函数f(x)的值域是__函数值y__的集合，记为{y

5、y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为__R__．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为.(4)反比例函数y＝(k≠0)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(5)

6、指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__．(6)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为__R__．(7)正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的值域为__[－1，1]__；正切函数y＝tanx的值域为__R__．对应学生用书p12函数最值与值域的求法例1　(1)函数y＝的值域为________．[解析](均值不等式法)∵y＝＝＝(x－1)＋，又∵当x＞1时，x－1＞0；当x＜1时，x－1＜0.∴当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3时等号成立；当x<1时，y＝－≤－4，且当x＝－1时，

7、等号成立．综上得函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．[答案](－∞，－4]∪[4，＋∞)(2)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为____________．[解析](函数单调性)由于y＝在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.[答案]3(3)已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为__________．[解析](化归为一元二次函数)∵≤f(x)≤，∴≤≤.令t＝

8、，则f(x)＝(1－t2)，令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，即y＝－(t－1)2＋1.∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值.∴g(x)的值域为.[答案][小结]求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过

9、换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．1．函数y＝2x＋的值城是____________．[解析](三角换元法)令x＝cost(0≤t≤π)，∴y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ).∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ