2020版高考数学第6章不等式、推理与证明第5节直接证明与间接证明、数学归纳法教学案理新人教版

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1、第五节　直接证明与间接证明、数学归纳法[考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件

2、(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．2．间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方

3、法叫做数学归纳法．[常用结论]　利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应

4、假设“a

5、析法结合使用D．间接证法B　[由证明过程看是用了综合法的证明，故选B.]4．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2D　[∵＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴三个数中至少有一个不小于2.]5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)A．(k＋1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D.(k＋1)[2(k＋1)2

6、＋1]B　[若n＝k时成立，即12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝成立，那么n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，对比n＝k时的式子可知，当n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2，故选B.]分析法的应用1．若a，b∈(1，＋∞)，证明＜.[证明]　要证＜，只需证()2＜()2，只需证a＋b－1－ab＜0，即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．2．已知

7、△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[规律方法]　(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键.(

8、2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.综合法的应用【例1】　设数列{an}的前n项和为Sn，已知3an－2Sn＝2.(1)证明{an}是等比数列并求出通项公式an；(2)求证：S－SnSn＋2＝