2020届高考数学总复习课时跟踪练（五十三）双曲线文（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪练(五十三)A组　基础巩固1．(2019·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1　　　　B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.答案：A2．(2019·郴州模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：由双曲线－＝1(m>

2、0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0，5)，有c＝5，则m＋9＝25，则m＝16，则双曲线的方程为－＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.答案：B3．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)A.－＝1(y>0)B.－＝1(x>0)C.－＝1(y>0)D.－＝1(x>0)解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b

3、2＝9－4＝5.所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．答案：B4．(2019·开封模拟)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为(　　)A.B.C．2D.解析：由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为

4、x0

5、＝2，故选C.答案：C5．(2019·深圳模拟)已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1(a>0，b>

6、0)有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2，则双曲线的离心率为(　　)A．2B．3C.D.解析：因为椭圆＋＝1与双曲线－＝1有共同的焦点，所以4＋m2－m2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝4，所以双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)设F(2，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2，所以2×＝2，所以＝，所以b＝，所以a2＝c2－b2＝1，所以e＝＝2，故选A.答案：A6．(2019·安阳模拟)已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的双

7、曲线，则m的取值范围是________．解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，所以有解得4

8、BF2

9、＋

10、AF2

11、的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得

12、AF2

13、－

14、AF1

15、＝4，

16、BF2

17、－

18、BF1

19、＝4，所以

20、AF2

21、－

22、AF1

23、＋

24、BF2

25、－

26、BF1

27、＝8.因为

28、AF1

29、＋

30、BF1

31、＝

32、AB

33、，

34、当

35、AB

36、是双曲线的通径时，

37、AB

38、最小，所以(

39、AF2

40、＋

41、BF2

42、)min＝

43、AB

44、min＋8＝＋8＝10.答案：108．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：法一　不妨设点M、N在渐近线y＝x上，如图，△AMN为等边三角形，且

45、AM

46、＝b，则A点到渐近线y＝x的距离为b，将y＝x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a，

47、0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝，所以＝b，即＝，所以双曲线离心率e＝＝.法二　不妨设点M、N在渐近线y＝x上，如图，作AC垂直于MN，垂足为C，据题意知点A的坐标为(a，0)，则

48、AC

49、＝＝，在△ACN中，∠CAN＝∠MAN＝30°，

50、AN

51、＝b，所以cos∠CAN＝cos30°＝＝＝＝＝，所以离心率e＝＝.答案：9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，

52、0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.所以＝3，得a＝3，b＝4，所以双曲线G的方程为－＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解：因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等