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时间:2019-10-27
《2020届高考数学总复习课时跟踪练(五十三)双曲线文(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时跟踪练(五十三)A组 基础巩固1.(2019·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1解析:已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为-=1,故选A.答案:A2.(2019·郴州模拟)已知双曲线-=1(m>0)的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:由双曲线-=1(m>
2、0)的焦点在y轴上,且在直线x+y=5上,直线x+y=5与y轴的交点为(0,5),有c=5,则m+9=25,则m=16,则双曲线的方程为-=1,则双曲线的渐近线方程为y=±x.故选B.答案:B3.已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为( )A.-=1(y>0)B.-=1(x>0)C.-=1(y>0)D.-=1(x>0)解析:由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为-=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,b
3、2=9-4=5.所以点P的轨迹方程为-=1(x>0).答案:B4.(2019·开封模拟)已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·=0,则P到x轴的距离为( )A.B.C.2D.解析:由题意知F1(-,0),F2(,0),不妨设l的方程为y=x,则可设P(x0,x0).由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3x-6=0,得x0=±,故P到x轴的距离为
4、x0
5、=2,故选C.答案:C5.(2019·深圳模拟)已知椭圆+=1与双曲线-=1(a>0,b>
6、0)有共同的焦点,且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.D.解析:因为椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点,所以4+m2-m2=a2+b2,所以a2+b2=4,所以双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0)设F(2,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,因为焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2,所以2×=2,所以=,所以b=,所以a2=c2-b2=1,所以e==2,故选A.答案:A6.(2019·安阳模拟)已知方程+=1表示焦点在x轴上的双
7、曲线,则m的取值范围是________.解析:因为方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,所以有解得48、BF29、+10、AF211、的最小值为________.解析:由双曲线的标准方程为-=1,得a=2,由双曲线的定义可得12、AF213、-14、AF115、=4,16、BF217、-18、BF119、=4,所以20、AF221、-22、AF123、+24、BF225、-26、BF127、=8.因为28、AF129、+30、BF131、=32、AB33、,34、当35、AB36、是双曲线的通径时,37、AB38、最小,所以(39、AF240、+41、BF242、)min=43、AB44、min+8=+8=10.答案:108.[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.解析:法一 不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,△AMN为等边三角形,且45、AM46、=b,则A点到渐近线y=x的距离为b,将y=x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,47、0)到渐近线bx-ay=0的距离d==,所以=b,即=,所以双曲线离心率e==.法二 不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C,据题意知点A的坐标为(a,0),则48、AC49、==,在△ACN中,∠CAN=∠MAN=30°,50、AN51、=b,所以cos∠CAN=cos30°=====,所以离心率e==.答案:9.已知椭圆D:+=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.解:椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,52、0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.设双曲线G的方程为-=1(a>0,b>0),所以渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.所以=3,得a=3,b=4,所以双曲线G的方程为-=1.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)求证:·=0;(3)求△F1MF2的面积.(1)解:因为e=,则双曲线的实轴、虚轴相等
8、BF2
9、+
10、AF2
11、的最小值为________.解析:由双曲线的标准方程为-=1,得a=2,由双曲线的定义可得
12、AF2
13、-
14、AF1
15、=4,
16、BF2
17、-
18、BF1
19、=4,所以
20、AF2
21、-
22、AF1
23、+
24、BF2
25、-
26、BF1
27、=8.因为
28、AF1
29、+
30、BF1
31、=
32、AB
33、,
34、当
35、AB
36、是双曲线的通径时,
37、AB
38、最小,所以(
39、AF2
40、+
41、BF2
42、)min=
43、AB
44、min+8=+8=10.答案:108.[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.解析:法一 不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,△AMN为等边三角形,且
45、AM
46、=b,则A点到渐近线y=x的距离为b,将y=x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,
47、0)到渐近线bx-ay=0的距离d==,所以=b,即=,所以双曲线离心率e==.法二 不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C,据题意知点A的坐标为(a,0),则
48、AC
49、==,在△ACN中,∠CAN=∠MAN=30°,
50、AN
51、=b,所以cos∠CAN=cos30°=====,所以离心率e==.答案:9.已知椭圆D:+=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.解:椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,
52、0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.设双曲线G的方程为-=1(a>0,b>0),所以渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.所以=3,得a=3,b=4,所以双曲线G的方程为-=1.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)求证:·=0;(3)求△F1MF2的面积.(1)解:因为e=,则双曲线的实轴、虚轴相等
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