【冲刺985】高考数学优等生拔高系列讲义（5）数列（含答案）

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1、《冲刺“985”优等生拔高讲义》——（教师版本）专治学霸各种不服数列版快目录问题一：等差数列，等比数列的证明问题1问题二：数列中的最值问题16问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题31问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题45问题五：数列与不等式的相结合问题60问题六：数列中探索性问题79问题一：等差数列，等比数列的证明问题翻看近几年的高考题，有关证明，判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差，等比数列的定义，运用等差或等比中项性质，反证法，利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.题型一：利用等差（等比）数列的

2、定义用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．【例1】【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在数列中，．（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．【分析】（Ⅰ）根据已知等式结合等比数列的定义证明，从而求得；（Ⅱ）先求得的表达式，再用错位相减法求得．【解析】（Ⅰ）由条件得，又时，，故数列构成首项为1，公比为的等比数列．从而，即．（Ⅱ）由得，两式相减得：，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【点评】证明数列成等比数列

3、的关键是对已知条件两边同除以，构造.【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列满足．（1）求证：为等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求的前n项和．【答案】（1）；（2）．题型二：运用等差或等比中项性质是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．[来源:学科网ZXXK]【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．【证明】依题意，，且，．．由此可得．即．数列为等差数列．【点评】本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关

4、系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．【小试牛刀】设数列的前项为，已知，且其中为常数．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）证明数列为等差数列．【解析】（Ⅰ）由，得．把分别代入，得解得，，．题型三：反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：【例3】设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地

5、讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 ．  【小试牛刀】设{an}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．【解析】（Ⅰ）设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝（Ⅱ）假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋

6、2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，∴{an＋1}不是等比数列．【点评】证明一个数列不是等差数列或等比数列，有时也可假设前三项成等差数列或等比数列，推出矛盾，题型四：利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列【例4】若是数列的前项和，,则是(　　)A．等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D.既非等数

7、列又非等差数列【分析】由知是的二次函数，并且缺少一次项和常数项，符合等差数列的求和公式的形式.【答案】B【解析】用到上述方法，一下子就知道答案为B，大大节约了时间，同时大大提高了命中率．【点评】若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列；若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式，则数列是等比数列．若数列的前项和Sn能表示成(a，b为常数)的形式，则数列等差数列；若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．利用常规结论，证明或判断等差（等比）数列若数列是公比为的等