【冲刺985】高考数学优等生拔高系列讲义（3）三角函数（含答案）

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1、《冲刺“985”优等生拔高讲义》—（教师版）专治学霸各种不服三角函数板块目录问题一应用三角公式化简求值的技巧问题1问题二：应用三角函数的性质求解参数问题17问题三：三角形中的不等问题34问题四与向量、数列相结合的三角形问题54问题五：利用正、余弦定理解决实际问题74问题一应用三角公式化简求值的技巧问题三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解

2、决.一、三角变换,角为先锋三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.【例1】已知α、β为锐角,cosα＝,tan(α−β)＝−,则tanβ＝(　　)A、B、3C、D、【分析】依题意,可求得tanα＝,而已知两角α、α－β与所求角β之间存在α－(α－β)＝β的关系,故再利用两角差的正切即可求得tanβ的值．【点评】本题容易想到先求出tanα,然后代入tan(α－β)的展开式中求tanβ,相比之下,不如利用角的变换更简洁一些.

3、常见的配角技巧有：α＝2·,α＝(α＋β)－β,α＝β－(β－α),α＝[(α＋β)＋(α－β)],＋α＝－等【例2】【2016学年吉林省长春十一中期中】已知,则________．[来源:学_科_网]【分析】注意到,可通过调整角的差异进行求值.点评：当已知角有两个时,一般把所求角表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的形式,然后应用诱导公式把所求角变成已知角,常见的互余关系有与；与,常见的互补关系有与,与．【变式演练】已知sin＝,则sin2x的值为(　　)A．－B.C.D.【解析】法

4、一、sin2x＝cos(2x－)＝1－2sin2(x－)＝1－2×()2＝,选B.法二、依题意得(sinx－cosx)＝,(sinx－cosx)2＝,1－sin2x＝,sin2x＝,选B.二、函数变换,乃是重点三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.【例3】【2015·四川省新都一中9月测试】已知,则的值为()A．18B．C．16D．【分析】已知条件是α的正切值,要求正余弦的分式表达式的值,应从转化函

5、数名称着手,将正余弦化为正切函数的表达式即可.【解析】试题分析：,选D【答案】D【点评】本题实为齐次式的基本模型,已知条件是正切值,或者可化为正切值的相关形式,如sinα＝4cosα,cotα＝等,所求为正余弦的齐次关系式,可以使用这种此类变换.【变式演练】设且则()A.B.C.D.【解析】由,又,,故,即.【答案】C三、常数化角,曲径通幽三角公式中有不少常数,如1、、等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.【例4】【2015学科网特训】已知＝5,则sin2α－sinα

6、cosα的值是(　　)A．B．－C．－2D．2【分析】本题与例3很类似,但所求表达式为整式,于是考虑利用1＝sin2α＋cos2α,将分母变换为二次式,满足齐次式的格式后求解.【解析】由＝5,得＝5,即tanα＝2．所以sin2α－sinαcosα＝＝＝．【答案】A【点评】常数的变换在化一公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.【变式演练】【2016届山东师大附中高三上学期二模】若,且（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,所以四、降幂化一,热点不断三角公式中,一次关系式较多,特别是同

7、角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.【例5】【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．【解析】（1）函数的最小正周期为,函数的最大值为（2）由得函数的单调递增区间为【点评】降幂、化一公式,是当今考查三角函数的热点,考生应熟记相关公式,规范书写,避免过失

8、性丢分.【误区警示】三角函数很多性质都与周期有关,其中的k∈Z一定不能忘记,也不能写成k∈R、k∈N等.【变式演练】已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－＋1(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x