2018届高三数学每天一练半小时：第14练 函数模型及其应用 含答案

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1、训练目标【1】函数模型应用；【2】审题及建模能力培养．训练题型函数应用题．解题策略【1】抓住变量间的关系，准确建立函数模型；【2】常见函数模型：一次函数、二次函数模型；指数、对数函数模型；y＝ax＋型函数模型.1.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y【元】与月处理量x【吨】之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价

2、值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？2．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y【万元】与年产量x【吨】之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．【1】求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；【2】若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？3．【2016·潍坊检测】在扶贫活动中，为了尽快脱贫【无债务】致富，企业甲将

3、经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费【不计息】．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q【百件】与销售价格P【元】的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．【1】当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【2】企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？4.某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国

4、外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①【一条折线】、图②【一条抛物线段】分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．【1】分别写出国外市场的日销售量f【t】与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g【t】与上市时间t的关系；【2】国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．5．【2015·江苏】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一

5、步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝【其中a，b为常数】模型．【1】求a，b的值；【2】设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f【t】，并写出其定义域；②当t为何值时，公路

6、l的长度最短？求出最短长度．答案精析1．解　设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80000＝－【x－300】2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．2．解　【1】每吨平均成本为【万元】．则＝＋－48≥2－48＝32，当且仅当＝，即x＝200时取等号．∴当年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低为32万元．【2】设当年获得总利润为R【x】万元，则R【x】＝40x－y＝40x－＋48x－

7、8000＝－＋88x－8000＝－【x－220】2＋1680【0≤x≤210】．∵R【x】在[0,210]上是增函数，∴当x＝210时，R【x】有最大值为－【210－220】2＋1680＝1660.∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．3．解　设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q【P－14】×100－3600－2000，①由销量图易得Q＝代入①式得L＝【1】当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；当20

8、【2】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．4．解　【1】图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f【t】＝图②是一个二次函数的部分图象，故g【t】＝－t2＋6t【0≤t≤40】．【2】每件样品的销售利