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《2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题8 立体几何与空间向量 第55含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1．【2016·全国乙卷】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.【1】证明：平面ABEF⊥平面EFDC；【2】求二面角EBCA的余弦值．2．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．【1】证明：CM⊥SN；【2】求SN与平面CMN所成角的大小．3.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．【1】求证：平面PAC⊥平面PBC；【2】若AB＝2
2、，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．4．【2016·浙江】如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.【1】求证：BF⊥平面ACFD；【2】求二面角BADF的平面角的余弦值．答案精析1．【1】证明 由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，DF，FE都在平面EFDC中，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.【2】解 过D作DG⊥EF，垂足为G，由【1】知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，
3、
4、为单位长
5、，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由【1】知∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A【1,4,0】，B【－3,4,0】，E【－3,0,0】，D【0,0，】．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角CBEF的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C【－2,0，】．所以＝【1,0，】，＝【0,4,0】，＝【－3，－4，】，＝【－4,0,0】．设n＝【x，y，z】是平面BCE的法向量，则即所以可
6、取n＝【3,0，－】．设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝【0，，4】，则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角EBCA的余弦值为－.2．【1】证明 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A－xyz，如图．则P【0,0,1】，C【0,1,0】，B【2,0,0】，M【1,0，】，N【，0,0】，S【1，，0】．∴＝【1，－1，】，＝【－，－，0】，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即CM⊥SN.【2】解 由【1】得＝【－，1,0】．设平面CMN的一个法向量为a＝【x，y，z】，则得∴可取a＝【2,1，－2】．设S
7、N与平面CMN所成的角为θ，∵sinθ＝
8、cos〈a，〉
9、＝＝＝，∵直线与平面所成的角属于0°，90°]，∴θ＝45°，即SN与平面CMN所成角为45°.3．【1】证明 由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.【2】解 方法一 过点C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C－xyz.∵AB＝2，AC＝1，∴B
10、C＝.∵PA＝1，∴A【0,1,0】，B【，0,0】，P【0,1,1】．∴＝【，0,0】，＝【0,1,1】，＝【0,0,1】，＝【，－1,0】．设平面BCP的法向量为n1＝【x1，y1，z1】，则即不妨令y1＝1，则n1＝【0,1，－1】．设平面ABP的法向量为n2＝【x2，y2，z2】，则，即不妨令x2＝1，则n2＝【1，，0】．于是cos〈n1，n2〉＝＝.∴所求二面角C－PB－A的余弦值为.方法二 如图，过点C作CM⊥AB于M.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM，又PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，故CM⊥平面P
11、AB.过点M作MN⊥PB于N，连结NC，由三垂线定理得CN⊥PB，∴∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝.在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.∵Rt△BNM∽Rt△BAP.∴＝，∴MN＝.在Rt△CNM中，CN＝，∴cos∠CNM＝，∴所求二面角C－PB－A的余弦值为.4．【1】证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝F
12、C＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，
