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1、（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第53练空间角与距离练习理训练目标（1）会求线面角、二面角；（2）会解决简单的距离问题.训练题型（1）求直线与平面所成的角；（2）求二面角；（3）求距离.解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.1.如图所示，已知三棱柱ABC—AbG的侧棱与底而边长都相等，点4在底ABC上的投影〃为恭的中点，则异而直线肋与％所成的角的余弦值为—2.已知正三棱柱ABC—AAG的体积为专，底面是边长为萌的正三角形.若Q为的中心，则PA与平面弭力所成角的大小为3.如
2、图所示，在三棱锥5」肋C中，△血力是等腰三角形，AB=BC=2a,ZABC=20°,SA=3日，且91丄平面加芜；则点到平面姚的距离为・A4.如图，在等腰直角三角形中，ZBA/）=90°,且等腰直角三角形力少与等边三角形册所在平面垂直，/为〃C的中点，则与平面磁所成角的大小为.5.如图所示，在三棱锥血农中，HSBC,△血力都是等边三角形，且BC=,SA=*,则二面角S-BC-A的大小为2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB.GD屮，点尸在线段〃〃上运动，给岀以下命题:①异而直线GP与〃C所成的角为定值；②二面角P-BC-D的大小为定值；③三棱
3、锥D-BPQ的体积为定值；④异面直线川P与BQ间的距离为定值.其中真命题的个数为.3.(2016•山东模拟)如图所示，底面为正三角形，场丄平面外况?，DC丄平面朋C,EA=AB=2DC=2a,设尸为肪的中点.(1)求证：DF//平血ABC；(2)求直线〃〃与平面弭肪所成角的正弦值.4.(2016•辽宁沈阳二中月考)2如图，在△初C屮，Z個=45°，点0在初上，且OB=OC=~AB,P0丄平面個7,DA//PO,1[)A=AO=~PO,(1)求证：PB〃平證COD；(2)求二面角O-CD-A的余弦值.2.(2016•南通模拟)如图，在四棱锥S—ABCD,底
4、面初〃为矩形，丄平面ABCD,AB=1,AD=AS=2,"是棱弘上一点，且SP=*PD.⑴求直线肋与C所成角的余弦值；(2)求二面角A-PC-D的余弦值.第53练空间角与距离1・扌JI2-t解析因为创丄底面AM,所以Z朋4：为朋与平面A占G所成的角.因为平iffABC//平面AAG,所以Z/f/%为皿与平面血乞所成角.因为正三棱柱ABC—AB.G的体积为容底面三角形的边长为羽，所以弘说・必=玄，可得曲1=寸5•又易知所以tanAPA=1又克线KJI与平而所成的角属于［0,―）,所以AArA=—.解析作ADX.CB交伪的延长线于点从连结必如图所示.•
5、••旳丄平面昇〃CBCU平面佃G:.SAIBC•又BCIAD、SACAD=A.场u平面®弭/u平面嘲2BCV平面场2又BCU平而SBC,:.平而SBCL平而SAD且平面SBCC平而SAD=SD.在平面场〃内，过点力作AHVSD于点//,则/〃/丄平面S7?GM//的长即为点〃到平面如的距离.在RtAS/lZ?中，SA=3a,AD=AB・sin60uAH_AD可=动得AH=SAADSAADSD=回+加3c7即点弭到平面s比的距离为亍4.45°解析取％的小点尺连结肪；处（图略），易得AFA.BD,处丄平面〃他则上AEF就是朋与平面比刀所成的角，由题意知EF
6、=：CD=：BD=AF,所以Z屁尸=45°,即屁、与平面妙所成的角为45°.5.60°4.4解析对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD-A^GD,中，点“在线段上运动,在正方体屮有5C丄平面ABGD,而GPU平面ABGD,所以BCA_GP,所以这两个异面直线所成的角为定值90°,故①正确；对于②，因为二面角P-BC-D为平面ABC2与平面加G所成的二面角，而这两个平而为固定不变的平而，所以夹角也为定值，故②正确；对于③，三棱锥D-BPG的体积还等于三棱锥P-DBG的体积，而面积一定，又因为胆初，而〃平面BDC、,所以点/I到平面BDG的距离即为点戶到该
7、平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确；对于④，因为直线力屮和阳分别位于平面ADM,平面BCGBx'、',且这两个平面平行，市异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确.综上可知，真命题的个数为4.5.(1)证明如图，过点F作FH//EA交初于点〃，连结GZ•・•胡丄平面加农，DC丄平面ABC,:.EA//DC又Fll〃EA,:.FH//DC.TF是肪的中点，1:.FH=-AE=DC.・・・四边形Q曲是平行四边形，・・・DF//CH.又HCU平面ABC,DY平而ABC,:.
8、DF//平面ABC.(2)解V/ABC为正三角形，〃为的中点,:.CHLAB,
