高考数学总复习第四章三角函数第23讲简单三角恒等变换练习理新人教版

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1、第23讲　简单三角恒等变换夯实基础　【p48】【学习目标】1．能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换；2．能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明．【基础检测】1．化简：＝________．【解析】原式＝＝2cosα.【答案】2cosα2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________________________________________________________________________.【解析】tanα·tanβ＝1－＝1－＝.【答案】3．若tanθ

2、＋＝4，则sin2θ＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.【解析】∵tanθ＋＝＋＝＝＝4，∴sin2θ＝.【答案】D4．已知α∈，tanα＝，则cos＋2sin2＝(　　)A.B.C．1D．－或【解析】∵α∈，tanα＝，∴sinα＝－，cosα＝－，则cos＋2sin2＝－sinα＋(1－cosα)＝＋＝.【答案】B5．化简tan70°cos10°(tan20°－1)的值为(　　)A．1B．2C．－1D．－2【解析】原式＝·cos10°＝·＝×2sin(20°－30°)＝－＝－1.【答案】C【知识要点】1．三角变换的一般方法(1)角的变换，一般包括角的分解和角

3、的组合，如α＝(α＋β)－β，＋x＝－，α＝2·等；(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构．2．三角变换的常见题型(1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数的种类，注意角的范围及三角函数的正负．(2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系．(3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一．典例剖析　【p48

4、】考点1　三角函数的化简问题(1)化简：；(2)已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝.求的值．【解析】(1)原式＝＝＝＝＝cos2x.(2)由sinx＋cosx＝，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，即2sinxcosx＝－.∴＝＝sinxcosx(2－cosx－sinx)＝×＝－.【点评】①三角函数式的变形，主要思路为角的变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心．②三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值．考点2　三角函

5、数的求值问题已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．【解析】(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________．【解析】因为α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，所以sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±，当cos(α＋β)＝时，sinβ＝sin＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×<0，与sinβ>0矛盾，所以cosβ＝cos＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.【答案】【点评】三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求

6、另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．考点3　三角恒等式的证明问题求证＝.【解析】左边＝＝＝＝＝右边．【点评】三角恒等式的证明一般有三种方式：从左到右，从右到左，左＝右＝某一三角式．一般来说都是从复杂的一端向简单的一端证明．方法总结　　【p49】1．三角函数的求值主要有三种类

7、型，即给角求值、给值求值、给值求角．2．三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作．3．证明三角函数恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等．走进高考　　【p49】1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为__