（新课标）高考数学复习第四章三角函数第21讲简单三角恒等变换导学案新人教A版.docx

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1、第21讲　简单三角恒等变换【课程要求】1．能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换．2．能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明．对应学生用书p57【基础检测】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对任意的角α，都有cos2＝成立．(　　)(2)y＝sin4x－cos4x的周期为.(　　)(3)y＝sinx＋cosx在x＝取最大值是2.(　　)[答案](1)×　(2)×　(3)√2．[必修4p143B组T2

2、]已知sin74°＝a，则cos8°＝__________．(用含a的式子表示)[解析]由题知cos16°＝sin74°＝a，又cos16°＝2cos28°－1＝a，所以cos28°＝，cos8°＝＝.[答案]3．[必修4p141例4]如图，现要在一块半径为1，圆心角为的扇形铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的θ的大小．[解析](1)分别过P，Q

3、作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1，得

4、PD

5、＝sinθ，

6、OD

7、＝cosθ.又

8、OE

9、＝

10、QE

11、＝

12、PD

13、，∴

14、MN

15、＝

16、QP

17、＝

18、DE

19、＝

20、OD

21、－

22、OE

23、＝cosθ－sinθ，∴S＝

24、MN

25、·

26、PD

27、＝·sinθ＝sinθcosθ－sin2θ，θ∈.(2)由(1)知S＝sin2θ－(1－cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ－＝sin－，因为θ∈，所以2θ＋∈，所以sin∈.当θ＝时，S取最大值，且Smax＝.4．化简tan70°cos10°(tan20

28、°－1)的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1B．2C．－1D．－2[解析]原式＝·cos10°＝·＝×2sin(20°－30°)＝－＝－1.[答案]C5．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.或D.或[解析]∵α∈，∴2α∈，∵sin2α＝，∴2α∈.∴α∈且cos2α＝－，又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α

29、)cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝.[答案]A【知识要点】1．三角变换的一般方法(1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如α＝(α＋β)－β，＋x＝－，α＝2·等；(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构．2．三角变换的常见题型(1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换是化简三角

30、函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数的种类，注意角的范围及三角函数的正负．(2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系．(3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一．对应学生用书p58三角函数的化简问题例1　(1)化简：；(2)已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝.求的值．[解析](1)原式＝＝＝＝＝cos2x.(2)由sinx＋cosx＝，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，即2sinxcosx＝－.∴＝＝sin

31、xcosx(2－cosx－sinx)＝×＝－.[小结]①三角函数式的变形，主要思路为角的变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心．②三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值．1．化简：－2cos(α＋β)．[解析]原式＝＝＝＝＝＝.三角函数的求值问题例2　已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．[解析](1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝

32、1.例3　已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________．[解析]因为α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，所以sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±，当cos(α＋β)＝时，sinβ＝sin＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×<0，与sinβ>0矛盾，所以cosβ＝cos＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.[答案][小结]三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角