高考数学第2章函数、导数及其应用第6节对数与对数函数教学案（含解析）

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1、第六节　对数与对数函数[考纲传真]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

2、，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔logaN＝xloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)2.对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的

3、当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域(0，＋∞)值域R性质单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞03.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数

4、大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)当x＞1时，logax＞0.()(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图

5、象不在第二、三象限．()[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞bD　[∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.]3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D　[由图象可知y＝loga(x＋c)的图

6、象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()A.B．(1，＋∞)C.∪(1，＋∞)D.C　[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]5．计算：2log510＋log5＝________，2＝________.2　　[2log510＋log5＝log5＝2，因为log43＝log23＝l

7、og2，所以2＝2＝.]对数式的化简与求值1．(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.2　[原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋2lg5＝2.]2．2＝________.3　[原式＝2·2＝3·2＝3.]3．log23·log38＋()＝________.5　[原式＝3log23·log32＋3＝3＋2＝5.]4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.　[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，

8、∴m＝.][规律方法]　对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.对数函数的图象及应用【例1】　(1)(2019·大连模拟)函数y＝lg

9、x－1

10、的图象是()ABCD(2)(2019·厦门模拟)当0＜x≤时，4x＜