高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学案（含解析）新人教版

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1、1.3.2　奇偶性学习目标　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).知识点　函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【预习评价】　(正确的打“√”，

2、错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(　　)提示　(1)×　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数；(2)×　存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数；(3)×　函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不

3、是偶函数.题型一　函数奇偶性的判断【例1】　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－

4、x

5、；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－

6、－x

7、＝2－

8、x

9、＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f(x)的定义域为{x

10、x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是

11、非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数.规律方法　判断函数奇偶性的两种方法：(1)定义法：(2)图象法：【训练1】　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝

12、x＋1

13、＋

14、x－1

15、；(3)f(x)＝.解　(1

16、)函数的定义域为R，关于原点对称.又∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R，关于原点对称.又∵f(－x)＝

17、－x＋1

18、＋

19、－x－1

20、＝

21、x－1

22、＋

23、x＋1

24、＝f(x)，∴f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.题型二　奇、偶函数的图象问题【例2】　已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.(1)画出f(x)

25、在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).规律方法　1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]

26、(或[0，＋∞))上对应的函数图象.2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.【训练2】　已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小.解　f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，由图象知，f(2)

27、x－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)A.26B.18C.10D.－26解析　法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.法二　由已知条件，得①＋②得f(3)＋f(－