2017_18学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.3.2奇偶性学案含解析

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1、1．3.2　奇偶性[提出问题]已知函数(1)f(x)＝x2－1，(2)f(x)＝－，(3)f(x)＝2x的图象分别如图所示：问题1：各个图象有怎样的对称性？提示：题图(1)关于y轴对称；题图(2)(3)关于坐标原点对称．问题2：对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？提示：(1)f(－x)＝f(x)；(2)f(－x)＝－f(x)；(3)f(－x)＝－f(x)．[导入新知]偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(

2、x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数定义域关于原点对称图象特征[化解疑难]理解函数的奇偶性应关注四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2

3、在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．26(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.(4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．判断函数的奇偶性[例1]　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；(3)f(x)＝

4、x－2

5、－

6、x＋2

7、；(4)f(x)＝[解]　(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．因为

8、f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数f(x)＝

9、x－2

10、－

11、x＋2

12、的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝

13、－x－2

14、－

15、－x＋2

16、＝

17、x＋2

18、－

19、x－2

20、＝－(

21、x－2

22、－

23、x＋2

24、)＝－f(x)，所以函数f(x)＝

25、x－2

26、－

27、x

28、＋2

29、是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－1＝－＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)．综上可知，函数f(x)＝是奇函数．[类题通法]判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．26②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下结论．若f(－x)＝－f(

30、x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．[活学活用]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝

31、x－2

32、＋

33、x＋2

34、；(2)f(x)＝解：(1)函数f(x)＝

35、x

36、－2

37、＋

38、x＋2

39、的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝

40、－x－2

41、＋

42、－x＋2

43、＝

44、x＋2

45、＋

46、x－2

47、＝f(x)，所以函数f(x)＝

48、x－2

49、＋

50、x＋2

51、是偶函数．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－＝＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝－＝f(x)．综上可知，函数f(x)＝是偶函数.利用函数奇偶性的定义求参数[例2]　(1)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D．1(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋

52、3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(3)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.26[解析]　(1)要使函数式有意义，则x≠－，且x≠a，而函数f(x)为奇函数，所