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时间:2019-10-31
《2017_18学年高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念学案含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2.1 函数的概念函数的概念[提出问题]某物体从高度为44.1m的空中自由下落,物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比,这个规律用数学式子可以描述为s=gt2,其中g取9.8m/s2.问题1:时间t和物体下落的距离s有何限制?提示:0≤t≤3,0≤s≤44.1.问题2:时间t(0≤t≤3)确定后,下落的距离s确定吗?提示:确定.问题3:下落后的某一时刻,能同时对应两个距离吗?提示:不能.[导入新知]函数的有关概念函数的概念设A,B是非空的数集,如果按照某种对应关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B
2、的一个函数函数的记法y=f(x),x∈A定义域x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f(x)
3、x∈A}叫做函数的值域[化解疑难]理解函数的概念应关注五点(1)“A,B是非空的数集”,一方面强调了A,B只能是数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说定义域为空集的函数是不存在的.(2)理解函数的概念要注意,函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.(3)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与
4、之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数.(4)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式.13(5)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.区 间[导入新知]区间的概念及表示定义名称符号数轴表示{x
5、a≤x≤b}闭区间[a,b]{x
6、a≤x
7、a8、a9、x≥a}半开半闭区间[a,+∞){x10、x>a}开区间(a,+∞){x11、x≤a}半开半闭区间(-∞,a]{x12、x13、解疑难]1.理解区间概念的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;(2)区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;(3)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别;(4)由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.2.关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号,而不是一个数;(2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.函数的判断13[例1] (1)下列图形中,不能确定y是x的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数?为什么?①f:把x对应到3x+1;②g:把x对应到14、x15、+16、1;③h:把x对应到;④r:把x对应到.[解] (1)选D y是x的函数,必须满足对于任意给定的x值,y都有唯一确定的值与之对应.图象A,B,C所表示的对应关系能构成函数,因为任意给一个变量x,都有唯一确定的y和它对应.但图象D不是,它表示的对应关系中,对于自变量x,大多都有两个函数值和它对应,不符合函数的定义.(2)①是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是把x乘3再加1,对于任一x∈R,3x+1都有唯一确定的值与之对应.如x=-1,则3x+1=-2与之对应.同理,②也是实数集R上的一个函数.③不是实数集R上的函数.因为当x=0时,的值不存在.④不是实数集R上的函数.因为当x<0时,的值不17、存在.[类题通法]1.判断所给对应是否为函数的方法(1)首先观察两个数集A,B是否非空;(2)其次验证对应关系下,集合A中x的任意性,集合B中y的唯一性,即不能没有数y对应数x,也不能有多于一个的数y对应x.2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若l13与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.[活学活用]在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )①A={x18、x∈Z},B={y19、y∈Z},对应关系f:x→y=;②A={x20、x>0,x∈R},B=21、{y22、y∈R},对应关系f:x→y2=3x;③A={x23、x∈R},B={y24、y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;⑤A={(x,y)25、x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;⑥A={x26、-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥C.②③④D.①②③⑤解析:选D ①在对应关系f下,A中不
8、a9、x≥a}半开半闭区间[a,+∞){x10、x>a}开区间(a,+∞){x11、x≤a}半开半闭区间(-∞,a]{x12、x13、解疑难]1.理解区间概念的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;(2)区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;(3)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别;(4)由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.2.关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号,而不是一个数;(2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.函数的判断13[例1] (1)下列图形中,不能确定y是x的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数?为什么?①f:把x对应到3x+1;②g:把x对应到14、x15、+16、1;③h:把x对应到;④r:把x对应到.[解] (1)选D y是x的函数,必须满足对于任意给定的x值,y都有唯一确定的值与之对应.图象A,B,C所表示的对应关系能构成函数,因为任意给一个变量x,都有唯一确定的y和它对应.但图象D不是,它表示的对应关系中,对于自变量x,大多都有两个函数值和它对应,不符合函数的定义.(2)①是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是把x乘3再加1,对于任一x∈R,3x+1都有唯一确定的值与之对应.如x=-1,则3x+1=-2与之对应.同理,②也是实数集R上的一个函数.③不是实数集R上的函数.因为当x=0时,的值不存在.④不是实数集R上的函数.因为当x<0时,的值不17、存在.[类题通法]1.判断所给对应是否为函数的方法(1)首先观察两个数集A,B是否非空;(2)其次验证对应关系下,集合A中x的任意性,集合B中y的唯一性,即不能没有数y对应数x,也不能有多于一个的数y对应x.2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若l13与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.[活学活用]在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )①A={x18、x∈Z},B={y19、y∈Z},对应关系f:x→y=;②A={x20、x>0,x∈R},B=21、{y22、y∈R},对应关系f:x→y2=3x;③A={x23、x∈R},B={y24、y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;⑤A={(x,y)25、x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;⑥A={x26、-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥C.②③④D.①②③⑤解析:选D ①在对应关系f下,A中不
9、x≥a}半开半闭区间[a,+∞){x
10、x>a}开区间(a,+∞){x
11、x≤a}半开半闭区间(-∞,a]{x
12、x13、解疑难]1.理解区间概念的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;(2)区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;(3)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别;(4)由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.2.关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号,而不是一个数;(2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.函数的判断13[例1] (1)下列图形中,不能确定y是x的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数?为什么?①f:把x对应到3x+1;②g:把x对应到14、x15、+16、1;③h:把x对应到;④r:把x对应到.[解] (1)选D y是x的函数,必须满足对于任意给定的x值,y都有唯一确定的值与之对应.图象A,B,C所表示的对应关系能构成函数,因为任意给一个变量x,都有唯一确定的y和它对应.但图象D不是,它表示的对应关系中,对于自变量x,大多都有两个函数值和它对应,不符合函数的定义.(2)①是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是把x乘3再加1,对于任一x∈R,3x+1都有唯一确定的值与之对应.如x=-1,则3x+1=-2与之对应.同理,②也是实数集R上的一个函数.③不是实数集R上的函数.因为当x=0时,的值不存在.④不是实数集R上的函数.因为当x<0时,的值不17、存在.[类题通法]1.判断所给对应是否为函数的方法(1)首先观察两个数集A,B是否非空;(2)其次验证对应关系下,集合A中x的任意性,集合B中y的唯一性,即不能没有数y对应数x,也不能有多于一个的数y对应x.2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若l13与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.[活学活用]在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )①A={x18、x∈Z},B={y19、y∈Z},对应关系f:x→y=;②A={x20、x>0,x∈R},B=21、{y22、y∈R},对应关系f:x→y2=3x;③A={x23、x∈R},B={y24、y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;⑤A={(x,y)25、x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;⑥A={x26、-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥C.②③④D.①②③⑤解析:选D ①在对应关系f下,A中不
13、解疑难]1.理解区间概念的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;(2)区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;(3)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别;(4)由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.2.关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号,而不是一个数;(2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.函数的判断13[例1] (1)下列图形中,不能确定y是x的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数?为什么?①f:把x对应到3x+1;②g:把x对应到
14、x
15、+
16、1;③h:把x对应到;④r:把x对应到.[解] (1)选D y是x的函数,必须满足对于任意给定的x值,y都有唯一确定的值与之对应.图象A,B,C所表示的对应关系能构成函数,因为任意给一个变量x,都有唯一确定的y和它对应.但图象D不是,它表示的对应关系中,对于自变量x,大多都有两个函数值和它对应,不符合函数的定义.(2)①是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是把x乘3再加1,对于任一x∈R,3x+1都有唯一确定的值与之对应.如x=-1,则3x+1=-2与之对应.同理,②也是实数集R上的一个函数.③不是实数集R上的函数.因为当x=0时,的值不存在.④不是实数集R上的函数.因为当x<0时,的值不
17、存在.[类题通法]1.判断所给对应是否为函数的方法(1)首先观察两个数集A,B是否非空;(2)其次验证对应关系下,集合A中x的任意性,集合B中y的唯一性,即不能没有数y对应数x,也不能有多于一个的数y对应x.2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若l13与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.[活学活用]在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )①A={x
18、x∈Z},B={y
19、y∈Z},对应关系f:x→y=;②A={x
20、x>0,x∈R},B=
21、{y
22、y∈R},对应关系f:x→y2=3x;③A={x
23、x∈R},B={y
24、y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;⑤A={(x,y)
25、x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;⑥A={x
26、-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥C.②③④D.①②③⑤解析:选D ①在对应关系f下,A中不
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