高中数学第3章导数及其应用3.2.1习题(含解析)新人教A版

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1、选修1-1 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1.设y=e3,则y′等于(  )A.3e2        B.e2C.0D.以上都不是[答案] C[解析] ∵y=e3是一个常数,∴y′=0.2.(2016·广西南宁高二检测)若函数f(x)=x2,则f(x)在x=1处的导数为(  )A.2x   B.2   C.3   D.4[答案] B[解析] f′(x)=2x,∴f(x)在x=1处的导数为f′(1)=2.3.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有(  )A.1条B.2条C.3条D.不确定[答案] B[解析] ∵f′(x)=3x2=3,解得x=±1.切点有两个

2、,即可得切线有两条.4.给出下列结论:①若y=,则y′=-;②若y=,则y′=;③若y=,则y′=-2x3;④若f(x)=3x,则f′(1)=3,其中正确的个数是(  )A.1B.2C.3D.4[答案] B[解析] ②y′=;③y′=-2x-3,所以只有①④是正确的.5.下列结论正确的是(  )A.若y=sinx,则y′=cosxB.若y=cosx,则y′=sinxC.若y=,则y′=D.若y=,则y′=[答案] A[解析] ∵B项中,y′=-sinx;C项中,y′=-;D项中,y′=,∴选A.6.f(x)=,则f′(-1)=(  )A.B.-C.D.-[答案] D[解析]

3、 ∵f(x)=x-,∴f′(x)=-x-,∴f′(-1)=-(-1)-=-.二、填空题7.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等于________.[答案] 3[解析] y′=nxn-1,∴y′

4、x=2=n·2n-1=12,∴n=3.8.函数y=sinπ,则y′=________.[答案] 0[解析] y=sinπ=0,∴y′=0.9.在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为________.[答案] (2,1)[解析] 设P(x0,y0),∵y′=′=(4x-2)′=-8x-3,tan135°=-1,∴-8x=-1.∴x0=2,y0

5、=1.三、解答题10.(2016·浙江宁波高二月考)求曲线y=cosx在x=处的切线方程.[解析] ∵y=cosx,∴y′=-sinx.∴曲线y=cosx在x=处的切线的斜率k=-sin=-.又当x=时,y=cos=,故曲线在x=处的切线方程为y-=-(x-),即y=-x++.一、选择题1.曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为(  )A.1B.-C.D.[答案] C[解析] ∵y=x3,∴y′

6、x=1=1,∴切线的倾斜角α满足tanα=1,∵0≤α<π,∴α=.2.已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值为(  )A.B.-C.D.-[答案] C[解析] y′==k,∴

7、x=,切点坐标为,又切点在曲线y=lnx上,∴ln=1,∴=e,k=.3.正弦曲线y=sinx上切线的斜率等于的点为(  )A.(,)B.(-,-)或(,)C.(2kπ+,)D.(2kπ+,)或(2kπ-,-)[答案] D[解析] 设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0,y0),∵y′

8、x=x0=cosx0=,∴x0=2kπ+或2kπ-,∴y0=或-.4.函数y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为(  )A.e2B.2e2C.e2D.[答案] D[解析] ∵y′

9、x=2=e2,∴切线方程为y-e2=e2(x-2).当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=

10、1.故切线与坐标轴围成三角形面积为×

11、-e2

12、×1=,故选D.二、填空题5.(2015·陕西理)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.[答案] (1,1)[解析] 由于(ex)′=ex,()′=-,故曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=e0=1,设P(x0,),曲线y=(x>0)上点P处的切线斜率-,若两直线垂直则有1×(-)=-1,解得x0=1,故P(1,1).6.若曲线y=x2的一条切线平行于直线y=4x-3,则这条切线的方程为________.[答案] 4x-y-4=0[解析] y′=2x,设切

13、点为(x0,y0),则由题意可知,y′

14、x=x0=4,即2x0=4,所以x0=2,代入曲线方程得y0=4,故该切线过点(2,4)且斜率为4,所以这条切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.三、解答题7.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程;(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?[解析] (1)∵y′=3x2,∴切线斜率k=3,∴切线方程y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由消去y得,3x-x3-2=0,∴(x-1)2(x+2)=0,∴x1=1,x2=-2

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