高中数学 导数及其应用习题课导数的应用学案新人教a版

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1、习题课　导数的应用学习目标　1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．1．函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(

2、x)>0，那么f(x0)是极小值．3．函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一　构造法的应用例1　已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且sinx·f′(x)>cosx·f(x)恒成立，则(　　)A.f >f B.f >f C.f >2f D.f 

3、析　由f′(x)sinx>f(x)cosx，得f′(x)sinx－f(x)cosx>0，构造函数g(x)＝，则g′(x)＝.当x∈时，g′(x)>0，即函数g(x)在上单调递增，∴g

4、0时，xf′(x)＋f(x)<0，当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵

5、＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，2)C．(0，＋∞)D．(2，＋∞)考点　利用导数研究函数的单调性题点　构造法的应用答案　C解析　设g(x)＝，则g′(x)＝.∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在R上单调递减．∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，则不等式等价于g(x)0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.反思与感悟　构

6、造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围．跟踪训练2　已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意的x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lgx)>的解集为________．考点　利用导数研究函数的单调性题点　构造法的应用答案　(0,10)解析　∵f′(x)<，∴f′(x)－<0，∴f(x)－在R上为减函数．设F(x)＝f(x)－，则F(x)在R上为减函数．∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0.由f(lgx)>，得f(lgx)－>0，∴F(lgx)>F(1)．∵F

7、(x)在R上单调递减，∴lgx<1，∴00)．①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；②当a>0时，令g(x)＝ax2－2x＋a，∵函数f(x)在区间[1，

8、＋∞)上是单调函数，∴g(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴a≥在区间[1，＋∞)上恒成立．令u(x)＝，x∈[1，＋∞)．∵u(x)＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号．∴a≥1.∴当a≥1时，函数f(x)单调递增．∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)由(1)可知：①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当a≥1时，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当0