高中数学第3章导数及其应用3.2.1习题（含解析）新人教A版

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1、选修1-1　第三章　3.2　3.2.1一、选择题1．设y＝e3，则y′等于(　　)A．3e2　　　　　　　　B．e2C．0D．以上都不是[答案]　C[解析]　∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．(2016·广西南宁高二检测)若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为(　　)A．2x　　　B．2　　　C．3　　　D．4[答案]　B[解析]　f′(x)＝2x，∴f(x)在x＝1处的导数为f′(1)＝2.3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．不确定[答案]　B[解析]　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个

2、，即可得切线有两条．4．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3，其中正确的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4[答案]　B[解析]　②y′＝；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正确的．5．下列结论正确的是(　　)A．若y＝sinx，则y′＝cosxB．若y＝cosx，则y′＝sinxC．若y＝，则y′＝D．若y＝，则y′＝[答案]　A[解析]　∵B项中，y′＝－sinx；C项中，y′＝－；D项中，y′＝，∴选A．6．f(x)＝，则f′(－1)＝(　　)A．B．－C．D．－[答案]　D[解析]

3、　∵f(x)＝x－，∴f′(x)＝－x－，∴f′(－1)＝－(－1)－＝－.二、填空题7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________.[答案]　3[解析]　y′＝nxn－1，∴y′

4、x＝2＝n·2n－1＝12，∴n＝3.8．函数y＝sinπ，则y′＝________.[答案]　0[解析]　y＝sinπ＝0，∴y′＝0.9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________.[答案]　(2,1)[解析]　设P(x0，y0)，∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0

5、＝1.三、解答题10．(2016·浙江宁波高二月考)求曲线y＝cosx在x＝处的切线方程.[解析]　∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.∴曲线y＝cosx在x＝处的切线的斜率k＝－sin＝－.又当x＝时，y＝cos＝，故曲线在x＝处的切线方程为y－＝－(x－)，即y＝－x＋＋.一、选择题1．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(　　)A．1B．－C．D．[答案]　C[解析]　∵y＝x3，∴y′

6、x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.2．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为(　　)A．B．－C．D．－[答案]　C[解析]　y′＝＝k，∴

7、x＝，切点坐标为，又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.3．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为(　　)A．(，)B．(－，－)或(，)C．(2kπ＋，)D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)[答案]　D[解析]　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′

8、x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.4．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为(　　)A．e2B．2e2C．e2D．[答案]　D[解析]　∵y′

9、x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝

10、1.故切线与坐标轴围成三角形面积为×

11、－e2

12、×1＝，故选D．二、填空题5．(2015·陕西理)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．[答案]　(1,1)[解析]　由于(ex)′＝ex，()′＝－，故曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1，设P(x0，)，曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率－，若两直线垂直则有1×(－)＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．6．若曲线y＝x2的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线的方程为________.[答案]　4x－y－4＝0[解析]　y′＝2x，设切

13、点为(x0，y0)，则由题意可知，y′

14、x＝x0＝4，即2x0＝4，所以x0＝2，代入曲线方程得y0＝4，故该切线过点(2,4)且斜率为4，所以这条切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.三、解答题7．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[解析]　(1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，∴切线方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2