高中数学第3章导数及其应用3.3.2习题(含解析)新人教A版

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1、选修1-1 第三章 3.3 3.3.2一、选择题1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(  )A.1个  B.2个  C.3个  D.4个[答案] A[解析] 极小值点应有先减后增的特点,即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点.2.已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=(  )A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1[答案] A[解析] ∵y′=3x2-3,∴当y′=0时,x=±1,则

2、x,y′,y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y′+-+y↗c+2↘c-2↗因此,当函数图象与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0或c-2=0,∴c=-2或c=2.3.(2016·四川)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(  )A.-4B.-2C.4D.2[答案] D[解析] f′(x)=3x2-12,令f′(x)>0得x<-2或x>2,令f′(x)<0得-2

3、小值点,故a=2.4.设函数f(x)=xex,则(  )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点[答案] D[解析] f′(x)=ex+xex=ex(1+x),令f′(x)>0,得x>-1,令f′(x)<0,得x<-1,∴函数f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,∴当x=-1时,f(x)取得极小值.5.设函数f(x)=+lnx,则(  )A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极

4、小值点[答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.f′(x)=-+=(1-),由f′(x)=0可得x=2.当02时,f′(x)>0,∴f(x)单调递增.所以x=2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时,不要忽视定义域.6.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(  )A.2B.3C.6D.9[答案] D[解析] f′(x)=12x2-2ax-2b,由条件知f′(1)=0,∴a+b=6,∴ab≤()2=9,等号在a=b=

5、3时成立,故选D.二、填空题7.函数f(x)=-x3+x2+2x取得极小值时,x的值是________.[答案] -1[解析] f′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1),令f′(x)>0得-12,∴函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上递减,在(-1,2)上递增,∴当x=-1时,函数f(x)取得极小值.8.(2015·陕西文)函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.[答案] y=-[解析] ∵y=xex,∴y′=ex+xex=ex(x+1),当x=-1时y有极小值,此时y

6、

7、x=-1=-,而y′

8、x=-1=0,∴切线方程为y=-.9.(2016·河南郑州高二检测)已知函数f(x)=2f′(1)lnx-x,则f(x)的极大值为________.[答案] 2ln2-2[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由于函数f(x)=2f′(1)lnx-x.则f′(x)=2f′(1)×-1(x>0),f′(1)=2f′(x)-1,故f′(1)=1,得到f′(x)=2×-1=,令f′(x)>0,解得x<2,令f′(x)<0,解得x>2,则函数在(0,2)上为增函数,在[2,+∞)上为减函数,故f(x)的极大值为f(2)=2l

9、n2-2.三、解答题10.设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.(1)求a、b、c的值;(2)求函数的递减区间.[解析] (1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y′=3x2+2ax+b,故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.所以y=x3+ax2,则y′=3x2+2ax.令y′=0,解得x=0或x=-a,即x=0和x=-a是极值点.由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a时取极小值.当x=-a时,函数有极小值-4,所以(-a)3+a(-)2=

10、-4,整理得a3=-27,解得a=-3.故a=-3、b=0、c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2,则y′=3x2-6x,令y′<0,

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