高中数学第3章导数及其应用3.3.2习题（含解析）新人教A版

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1、选修1-1　第三章　3.3　3.3.2一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个[答案]　A[解析]　极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)<0→f′(x)＝0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点．2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　)A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1[答案]　A[解析]　∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，则

2、x，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋－＋y↗c＋2↘c－2↗因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.3．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4B．－2C．4D．2[答案]　D[解析]　f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x<－2或x>2，令f′(x)<0得－2

3、小值点，故a＝2.4．设函数f(x)＝xex，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点[答案]　D[解析]　f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令f′(x)>0，得x>－1，令f′(x)<0，得x<－1，∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．5．设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极

4、小值点[答案]　D[解析]　本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f′(x)＝－＋＝(1－)，由f′(x)＝0可得x＝2.当02时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)A．2B．3C．6D．9[答案]　D[解析]　f′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知f′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤()2＝9，等号在a＝b＝

5、3时成立，故选D．二、填空题7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是________.[答案]　－1[解析]　f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0得－12，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8．(2015·陕西文)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.[答案]　y＝－[解析]　∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＝－1时y有极小值，此时y

6、

7、x＝－1＝－，而y′

8、x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－.9．(2016·河南郑州高二检测)已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为________.[答案]　2ln2－2[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由于函数f(x)＝2f′(1)lnx－x.则f′(x)＝2f′(1)×－1(x>0)，f′(1)＝2f′(x)－1，故f′(1)＝1，得到f′(x)＝2×－1＝，令f′(x)>0，解得x<2，令f′(x)<0，解得x>2，则函数在(0,2)上为增函数，在[2，＋∞)上为减函数，故f(x)的极大值为f(2)＝2l

9、n2－2.三、解答题10．设函数y＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间.[解析]　(1)因为函数的图象经过点(0,0)，易得c＝0.又图象与x轴相切于点(0,0)，且y′＝3x2＋2ax＋b，故0＝3×02＋2a×0＋b，解得b＝0.所以y＝x3＋ax2，则y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，解得x＝0或x＝－a，即x＝0和x＝－a是极值点．由图象知函数在x＝0处取极大值，故在x＝－a时取极小值．当x＝－a时，函数有极小值－4，所以(－a)3＋a(－)2＝

10、－4，整理得a3＝－27，解得a＝－3.故a＝－3、b＝0、c＝0.(2)由(1)得y＝x3－3x2，则y′＝3x2－6x，令y′<0，