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1、重要不等式及其运用教学目标：1.掌握定理的推证；2.能够灵活运用定理证明不等式；3.能够灵活运用定理求解函数的最值问题；4.争取掌握补充内容。教学重点难点：灵活运丿IJ定理证明不等式和求函数的最值问题。一、教材分析：本节所介绍的公式在整个代数中占有重耍地位，它不仅用来为证明不等式提供理论依据，还在其它问题的求解中有着广泛的应用，例如求最值问题，求范围问题等。主要内容：重要结论1：如果a,b£R,那么/2*2诚（当且仅当a=b时取号）。出8定理：如果a,bWR：那么2（当且仅当a=b时収j号）重要结论2（补充）:如果a,b,cGR：那么疋•护轴。（当且仅当a=b=c时取号
2、）重要结论3（补充）如果a,b,cER+,那么5（当且仅当a=b=c时取号）重要结论4（补充）：如果aba2,..,an^R+,那么卅（当且仅当a]=a2==an时取“=，，号）,其中n^N,且n>l。以上内容有儿点说明：①对于结论1,应注意灵活变形:比如/>2ab^al■毎^b212ab=>—^bl2a；如果b>0,那么h另夕20=><^_2
3、血］***丫0=>
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5、①定理指出：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，反映了两个数的和与积的重要关系，它是基础,因为它不仅应用广泛，而且3也可由它推出，现证明如下:”出2£设a,b,c^r+,3,则A>0
6、,.几a+b+c=3A,于是・fi^bcAAlXl^c••,,a•&・・・3ki/abc可以看出，当且仅当a=b,c=A且畅■為，即a二b=c(=A)时取“i号。出52的几何意义是“半径不小于半弦二o'仔^a+b22,即两个正数2206=>2(/“=)»(<».硏=>/*屮沙处疔〜我们知道24上2(±±U的平方平均数不小于算术平均数。一几a*2ai,即两个正数的算术平均数不小于这两数的调和平均数，显然需要比较的是娅*的大小。2①结论2的条件是a,b,ceR+,实际上，由推证过程:a3+b3+c3-3abc=2(a+b+c)[(a-b
7、)2+(b-c)2+(c-a)2]>0o只需a+b+QO即可，但为了使用方便，往往限制a,b,cGRj这一点必须清楚，例如a3+b3+c3>3abc成立的充要条件是:a+b+cNO或a=b=CoA■5★叫十——,G■总血…a轟②结论4,设*,木定理反映的是n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数A不小于它们的几何平均数Go③应用不等式证题时，一定要注意条件和“』的说明，尤其在求函数最值时，“』号成立与否是很关键的。二、重要不等式的应用：例1设a,b,c€R+,求证：护％5“*7‘屣28分析:木酗难点在于护从⑹2不易处理,如能找出a?+b2与a+bZ间的关系，问题就能解决
8、。证明:•・•a,b,cWR‘，a2+b2>2ab,2(a2+b2)>(a+b)2,・^ia2+-JA1+ca+l忑3+m••例2.若a,b,cWR+,求证(a+b+c)4-(a2+b2+c2)>243a2b2c2©分析:这类不等式可看作是“和的形式刃只的形式”经迭乘而成。证明:Ta,b,c>0,:.a+Ai^abc>0・+A+c)4231>0、••乂/心72坯旺1・3(如§>0…・.(a+b+c)洛+皿2)疔(血)2。/.(a+b+c)4(a2+b2+c2)>243a2b2c2。例3.若a>2,求证叭分析:两个对数的积不好处理，而和易处理，从而想到重要不等式。证明:・
9、・・a>2,Aloga(a-l)>0,loga(a+l)>0,且縫JUg.Ca-plog^a+D<滋3。：叱3。-
10、kg-(aa-D<扣8.a222/.loga(a-l)loga(a+l)0,2・5或■*5x(2-5x)1i£产驾-计■I11x■--当且仅当5x=2-5x,即5时，原式冇最大值，。的最小值(a>0)o⑴当0远1时，y>2,当JL仅当人■士"方时，ymin=2o⑵当a>l时，令"W2(c石)。1厂亠1a打y-/*-厂儿》・4七〒■―^•••*在Ha为增函数，二4
11、血，此时x=o。综上可知，0l时,三、课外练习r3-2"21.若-40,y>0,则lgx+lgy的最大值为3.若lgx+lgy=l,则％，的最小值为o4.已知a,b,cWR+,a+b+c=l。求证：a2罟1.某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元。并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次。某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学牛
