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1、第七讲重要不等式及其运用本专题主耍学习整理几个重耍的不等式及其运用O一知识方法梳理1儿个重要不等式：均值定理及重要变形基木形式其他形式若ci,beR,贝ijan个」E数的均值不等式:3柯西不等式:4.已知是两个变化的正数，①如果积兀歹是定值P，那么当x=j时，和x+y冇最小值2；②如果和x+y是定值$,那么当%=y时，积小有最大值-s2.5.用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。-正：各项或各因式必须为正数,不正要转正；二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，直接看不出来的，通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式了）、平方，或多次用均
2、值不等式等方式，凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构；三相等：要注意取等号的条件要相同，使和积为定值两项必须相等。如果等号不能成立，那么求出的+b2>2ab（当且仅当吋取“二”）.22若a,bwR,则ah^b2（当且仅当a=b时取“二”）若a,bwR+,贝Ua+b'2砸（当且仅当a=b时取“二”）若a,bw疋,则ab<[^~（当且仅当a=b时取“二”）若ab>0,则-+->2（当且仅当a=b时取“二”）ha方法：（一）如何求AB的最大值（四类）（二）如何求
3、A+B的授小值仍不是最值，此时可用单调性等方法来求最二典例分析例1⑴已知％〉丄，求函数/(X)=4x4-一!—的最小值。44x-5(2)函数y/+W+9)有最小值吗？Xr尢~+7尤+10,.、上j+m(3)求y二(兀工一1)的值域。x+1⑷设且d+b+ob=3,求d+2b的最小值;A点评：分式函数y=f(x)求最值，如果y二f(x)可表示成y二mg(x)++B的形式，且g(x)在定义g(x)域内恒正或恒负，A>0,m>0,则可用均值不等式求最值.Q1例2⑴己知正数x、y满足一+—=1,求x+2y的最小值。兀y25(2)已知正数x、y满足x+2y=3,求-+-的最小值兀y(3)已知
4、0<兀v1,求y=丄+—^—的最小值。xl-x(4)求y二一+—,(0%〉U,则ab的最小值是()A.2B.2忑c.4D.5【答案】C—+—+2>fab>2.—+2fab=2(.—+y/ab)>4—=—.=4ab解析因为ababab当且仅
5、当gb,且Y血即a=b时，取号。(3)若a>b>0,求证a+/*=的最小值为2血・Jb(a-b)⑷若a,b,c>0.Fl.a(a+b+c)+bc=4-2侖侧2a+b+c的授小值为(A)的-1(B)巧+1(C)2巧+2(D)2-2解析.若a,b,c>0口a(a+b+c)+bc=4-2>/3,所以a2+ab+ac+be=4-2/3,4_2观=a2+ab+ac+he二丄(4«2+4ah+4ac+2hc+2hc)W—(4a2+4ab+4-ac+2hc+b2+c2)44...(2命-2)2W(2a+b+c)2,则(2q+/?+c)22巧-2,选d.lab(2)若a是l+2b与l-2b的等
6、比中项，则IdI+2"I的最大值为()(/)2（〃）4(O2^5（〃）52V5V2A.15B.4C.5D.2【答案】：B(6)设a>b>c>0,则2a2+11+-10^c+25c2的最小值是aha(a-b)解析:aha(a-b)—1Qcic+25c2=(a—5c)2+—ab+cibH1aha(a-b)=(a-5c)2+ab++ci(a—b)+a(a-b)20+2+2=4当且仅当<5-5c=0,ab=,5(5-/7)=l时等号成立。/yr如取亍满足条件.答案:B例4⑴当xe(l,2)时，不等式，+加尤+4<0恒成立，则加的取值范围是(2)如果圆柱轴截面的周长/为定值，那么圆柱体积
7、的最人值是多少?]2厂+2厂+/—4厂、3丿371,解设圆柱底面半径为几高为力，贝ij2h+4r=lf91IX-m^h=tit・r・h=—^-2r-2r-(/-4r)<—7i881y所以y=—兀(6丿(3)设0<&<龙，则sin—(l+cos&)的最大值是多少?2Qf)解设y=2cos2—sin—>0,0w(0,龙),22z./=4cos4-sin2-•22<22&2〃c・2&cos—cos—2sin22231627故Xnax4V3~9~例5(1)设x,y是满足x+y=1的正数，
