重要不等式及其应用

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1、3eud教育网http://www.3edu.net50多万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！重要不等式及其应用教案　　教学目的　　(1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式．　　(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．　　教学过程　一、引入新课　　　师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？　　生：求差

2、比较法，即　　师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．　　如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？　　生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈　　R+∪{0}．　　师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．　二、推导公式3eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教

3、育网http://www.3edu.net50多万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！　　　1．奠基　　师：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①　　把①左边展开，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②　　②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？　　　　师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表

4、示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．　　以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．　　2．探索　　师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；

5、c2＋a2≥2ca．3eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网http://www.3edu.net50多万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！　　把以上三式叠加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③　　(当且仅当a=b=c时取“=”号)．　　以此类推：如果ai∈R，i=1，2，…，n，那么有④　　(当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号)．　　④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过

6、程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．　　3．再探索　　师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，　　启示我们把②式变成a2－ab＋b2≥ab，　　两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到a3＋b3≥a2b＋ab2．⑤　　考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？　　生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3

7、≥c2a＋ca2．3eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网http://www.3edu.net50多万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！　　三式叠加，并应用公式②，得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥　　(当且仅当a=b=c时取“=”号)．　　师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能

8、想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究．　　4．推论　　师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式．　　　　⑦　　(当且仅当a=b时取“=”号)．　　这就是课本中定理1的推论．　　3eud教育网http://www.