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1、几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。1、算术-几何平均值（AM-GM）不等式设是非负实数，则2、柯西（Cauchy）不等式设，则等号成立当且仅当存在，使变形（Ⅰ）：设，则；等号成立当且仅当存在，使变形（Ⅱ）设同号，且，则。等号成立当且仅当3．排序不等式设是的一个排列，则.等号成立当且仅当或。（用调整法证明）.4．琴生（Jensen）不等式若是区间上的凸函数，则对任意的点有等号当且仅当时取得。（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到
2、意想不到的效果。1.幂均值不等式设，，则9。证：作变量代换，令，则，则①，，又函数是上的凸函数，由Jensen不等式知①式成立。2.（切比雪夫不等式）设两个实数组，则等号成立当且仅当或。证：由排序不等式有：，，……………………………………………………………………………以上n个等式相加即得。3.一个基础关系式，其中证：若x,y中有一个为0，则显然成立。设x,y均不为零，则原不等式，令，则上式，记，则，因此，当时，，当时，，且，所以得极小值为,故，即.4.Holder不等式设且，则9等号成立当且仅当存在使得。证:在上面基础关系式中，取有……①①式两边对k求和，得：,
3、令,代入上式即证。5.一个有用的结论设，则，推广得设，则.证：原不等式,而,它可把含根式的积性不等式化为和式。三、如何运用几个重要不等式例1设且，求证：。证：由柯西不等式有…①而，即…②由①②有：,∴方法二：由幂均值不等式有：9。方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM不等式有：不妨设，则例2设，求证：证：左边=。评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。例3设，求证：证：设，则原不等式，由Cauchy不等式有：，故原不等式成立。评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。9例4设n是正整数，且，，求证：证：原不等式，由“二，结论5”有，又，
4、，故。评注：本例第一步放缩也可用Holder不等式的推广。例5设是一个无穷项的实数列，对于所有正整数存在一个实数，使得且对所有正整数成立，证明：证：对于，设为的一个排列且满足：.∴…①（柯西不等式）.故评注：这里把有序化后，①的变形是关键。例6设a,b,c为正实数，求证++≥a+b+c+，并确定等号成立的条件．证：由于++－a－b－c=(+b－2a)+(+c－2b)+(+a－2c)=(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2…①而由Cauchy不等式有[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2](b+c+a)≥(
5、a－b
6、+
7、b－c
8、+
9、c－a
10、)2…②9且由
11、a
12、－b
13、+
14、b－c
15、+
16、c－a
17、≥
18、a－b
19、+
20、(b－c)+(c－a)
21、=2
22、a－b
23、知(
24、a－b
25、+
26、b－c
27、+
28、c－a
29、)2≥4(a－b)2…③结合①②③可得++－a－b－c≥(
30、a－b
31、+
32、b－c
33、+
34、c－a
35、)2≥…④由④便知题目中的不等式成立．若题中不等式取等号，即④取等号．故不等式②与③皆取等号．由②式取等号知，存在k≥0，使得(a－b)2=bk,(b－c)2=ck,(c－a)2=ak，即(a－b)2=b2k,(b－c)2=c2k,(c－a)2=a2k…⑤由③式取等号知b－c与c－a同号，从而三个数b－c,c－a,b－a同号，结合⑤知存在实数l，使得b
36、－a=bl,b－c=cl,c－a=al…⑥由⑥知l=1－=－1=－1…⑦由⑦可得=，记==x，则c=ax,b=ax2，再由⑦式中1－=－1得1－=x－1即x3－2x2+1=0．故(x－1)(x2－x－1)=0．结合x>0可解得x=1或x=(1+)．故a:b:c=1:x2:x=1:1:1或1:(3+):(1+)…⑧又当a,b,c满足条件⑧时，容易难题目中不等式确实取等号．故⑧即为题中不等式取等号的充要条件．评注：①式的变形非常漂亮，是解题的关键所在。例7在中，求证：证：在中，令，，，则原不等式，由AM-GM不等式有：，即证。评注：在中令则有以下结论：，外接圆半径，
37、内切圆半径，，。9例8设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.解：由已知条件三式解出令，，。从而可知，，（易知）=从而∑≥（柯西不等式）。下证只需证………（*）利用均值不等式知：，从而（*）式成立，故知而当，即时，.从而的最小值是.评注：这是2005年的联赛试题，巧妙地代数换元后，避免了三角变形的麻烦。例9设a1,a2,…,an为大于等于1的实数，n≥1，A=1+a1+a2+…+an．定义x0=1,xk=(1≤k≤n)．证明：x1+x2+…+xn>．9证：设yk=，则=Ûyk=1+．由yk－1≥1,ak≥1可得(－1)(ak－1)≤0…(*)Û1+≤ak
38、+．所以yk=1+≤ak
