（黄冈名师）高考数学核心素养提升练二十三4.6正弦定理和余弦定理理（含解析）新人教A版

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1、核心素养提升练二十三　正弦定理和余弦定理(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,则A为(　　)A.60°或120°　　　　　　　B.60°C.30°或150°D.30°【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得=,所以sinA===.又a>b,所以A>B,所以A=60°或A=120°.2.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b等于(　　)A.　　　　B.C.2　　　　D.3【解析】选D.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2

2、-2bccosA,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcosC,则此三角形一定是(　　)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选C.在△ABC中,因为cosC=,所以a=2bcosC=2b·,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,则△ABC解的情况是(　　)A.无解B.有唯一解C.有两解D.不能确定【解析】选B.因为在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,所以根

3、据正弦定理得sinB===,因为∠A=60°,得∠B+∠C=120°,所以由sinB=,得∠B=30°,从而得到∠C=90°,因此,满足条件的△ABC有且只有一个.5.(2019·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=4,则△ABC面积的最大值为(　　)A.4B.2C.3D.【解析】选A.因为=,所以(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.又sinA≠0,所以cosB=.因为

4、0

5、,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=________. 【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因为0

6、B,所以asinBcosA=sinAsinB,所以tanA=a=,所以A=.利用余弦定理有cosA===,结合a=2,b+c=6可得:bc=8,则S△ABC=bcsinA=×8×=2.答案:2【变式备选】在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若(b+2sinC)·cosA=-2sinAcosC,且a=2,则△ABC面积的最大值是______. 【解析】因为(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC,所以bcosA=-2(sinCcosA+sinAcosC)=-2sin(A+C)=-2sinB,则=,结合正弦定理得==,

7、即tanA=-,∠A=π,由余弦定理得cosA==-,化简得b2+c2=12-bc≥2bc,故bc≤4,S△ABC=bcsinA≤×4×=.答案:8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+bsinA=csinC,a=2,b=2,则sinB=________. 【解析】因为asinA+bsinB+bsinA=csinC,所以a2+b2+ab=c2.由余弦定理得cosC==-,又0

8、=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,3(c