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《（黄冈名师）高考数学核心素养提升练五十一10.5曲线与方程理（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、核心素养提升练五十一 曲线与方程(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,已知线段AB上有一动点D(D异于A,B),线段CD⊥AB,且满足
2、CD
3、2=λ
4、AD
5、·
6、BD
7、(λ是大于0且不等于1的常数),则点C的运动轨迹为( )A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【解析】选B.以线段AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设C(x,y)是运动轨迹上任一点,设
8、AB
9、=2a,则A(-a,0),B(a,0),所以
10、C
11、D
12、2=y2,λ
13、AD
14、·
15、BD
16、=λ(x+a)(a-x)=-λx2+λa2,所以y2=-λx2+λa2,即λx2+y2=λa2,即+=1,且x≠±a,所以点C的运动轨迹为椭圆的一部分.2.(2018·张家口模拟)设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且
17、AB
18、=5,=+(O为坐标原点),则点M的轨迹方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得由
19、AB
20、=5
21、,得+=25,化简得+=1.【变式备选】(2018·福州模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A.+=1(y≠0)B.+y2=1(y≠0)C.+3y2=1(y≠0)D.x2+=1(y≠0)【解析】选C.依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),由三角形重心坐标关系可得即代入+=1,得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).3.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线
22、,且
23、PA
24、=1,则P点的轨迹方程为( )A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2【解析】选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MA⊥PA,且
25、MA
26、=1.又因为
27、PA
28、=1,所以
29、PM
30、==,即
31、PM
32、2=2,所以P点的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.【变式备选】(2018·梅州模拟)动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是( )A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4xD.y2
33、=-4x【解析】选B.双曲线x2-=1的左焦点F(-2,0),动圆M经过点F且与直线x=2相切,则圆心M到点F的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2=-8x.4.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆+=1上,且满足
34、
35、-
36、
37、=2,则·=( )A.-12 B.12 C.-9 D.9【解析】选D.设P(x,y).由
38、
39、-
40、
41、=2可得点P在以两定点A,B为焦点的双曲线的上支,其中2a=2,c=2,所以b=.所以点P(x,y)满足方程y2-
42、=1(y≥1).由解得所以·=(x,y+2)·(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9.5.在△ABC中,B(-,0),C(,0),AB,AC边上的中线长之和为9.则△ABC重心G的轨迹方程是( )A.+=1(y≠0)B.+=1(y≠0)C.-y2=1(y≠0)D.x2-=1(y≠0)【解析】选B.设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,因为BG=BE,CG=CD,所以BG+CG=(BE+CD)=6(定值),所以,G的轨迹为以B,C为焦点的椭圆,2a=6,c=,所以a=3,b=2,椭圆的
43、方程为+=1.因为当G点在x轴上时,A,B,C三点共线,不能构成△ABC,所以G的纵坐标不能是0,可得△ABC的重心G的轨迹方程为+=1(y≠0).二、填空题(每小题5分,共15分)6.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是______. 【解析】如图,
44、AD
45、=
46、AE
47、=8,
48、BF
49、=
50、BE
51、=2,
52、CD
53、=
54、CF
55、,所以
56、CA
57、-
58、CB
59、=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,所以方程为-
60、=1(x>3).答案:-=1(x>3)7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________. 【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则
61、AA1
62、+
63、BB1
64、=2
65、OO1
66、=4,由抛物线定义得
67、AA1
68、+
69、BB1
70、=
71、FA
72、+
73、FB
74、,所以
75、FA
76、+
77、FB
78、=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y≠0).答案:+=
