2019_2020学年高中数学课时分层作业3余弦定理（含解析）苏教版必修5

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1、课时分层作业(三)　余弦定理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)A．30°　　　　　　　　　B．60°C．120°D．150°B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴A＝60°.]2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是(　　)A．－B．－C．－D．－C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×＝

2、9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cosA＝＝＝－.]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形C　[由>0得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)A.B．8－4C．1D.A　[由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2a

3、b＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.]5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)A．10，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故

4、ccos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.]7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.1　[∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.]8．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．　[由正弦定理知：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．设sinA＝5k，sinB＝7k，sinC＝

5、8k，∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴cosB＝＝，∴B＝.]三、解答题9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[解]　(1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆半径．又bsinA＝acosB，所以2RsinBsinA＝·2RsinAcosB.又sinA≠0，所以sinB＝cosB，所以tanB＝.又因为0

6、A及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac，所以a2＋4a2－2a2＝9，解得a＝，故c＝2.10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．[解]　(1)∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴A

7、B＝.[能力提升练]1．在△ABC中，有下列关系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC．一定成立的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个C　[对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋c

8、osCsinA，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.]2．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)A.B.C.D.A　[cosB＝＝＝＋≥，∵0