2019_2020学年高中数学第3章直线与方程3.2.3直线的一般式方程学案新人教A版必修2

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1、3.2.3　直线的一般式方程学习目标核心素养1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养.直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；②当B＝0，A≠

2、0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？[提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)A．30°B．60°　　　C．150°　　　D．120°C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.]2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0D　[方程Ax

3、＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.故选D．]3．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．2x－y＋1＝0　[由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.]4．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是________．3x＋2y－6＝0　[由截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.]直线的一般式方程【例1】　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；(4

4、)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．[解]　(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.求直线的一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件

5、．1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)A．B．－5　C．　　　D．－3(1)B　(2)D　[(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项．又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．(2)令y＝0则x＝－3.]由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直【例2】　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(

6、1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？[解]　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.当l1⊥l2时，k1·k2＝－

7、1，即·＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2